与えられた制約条件の下で、関数を最大化する最適化問題を解きます。 (1) $\max_{x,y} xy$ subject to $x+y-2=0$ (2) $\max_{x,y} x^3y^2$ subject to $x+2y-10=0$

1. 問題の内容

与えられた制約条件の下で、関数を最大化する最適化問題を解きます。

(1) $\max_{x,y} xy$ subject to $x+y-2=0$

(2) $\max_{x,y} x^3y^2$ subject to $x+2y-10=0$

2. 解き方の手順

(1) 制約条件 $x+y-2=0$ より、$y = 2-x$ となります。

この式を目的関数 $xy$ に代入すると、$f(x) = x(2-x) = 2x - x^2$ となります。

$f(x)$ を最大化するために、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$f'(x) = 2 - 2x = 0$

$2x = 2$

$x = 1$

$x=1$ のとき、$y = 2-1 = 1$ となります。

$f''(x) = -2 < 0$ であるため、$x=1$ は極大値を与える点です。

したがって、$x=1, y=1$ のとき、$xy$ は最大値 $1 \cdot 1 = 1$ をとります。

(2) 制約条件 $x+2y-10=0$ より、$x = 10-2y$ となります。

この式を目的関数 $x^3y^2$ に代入すると、$g(y) = (10-2y)^3y^2 = (1000 - 600y + 120y^2 - 8y^3)y^2 = 1000y^2 - 600y^3 + 120y^4 - 8y^5$ となります。

$g(y)$ を最大化するために、$g'(y) = 0$ となる $y$ を求めます。

$g'(y) = 2000y - 1800y^2 + 480y^3 - 40y^4 = 0$

$40y(50 - 45y + 12y^2 - y^3) = 0$

$y=0$ または $y^3 - 12y^2 + 45y - 50 = 0$

$y=0$ のとき、$x=10$ となり、$x^3y^2 = 0$ となります。

$h(y) = y^3 - 12y^2 + 45y - 50 = 0$ を解くと、$h(2) = 8 - 48 + 90 - 50 = 0$ より、$y=2$ は解の一つです。

$h(y) = (y-2)(y^2 - 10y + 25) = (y-2)(y-5)^2 = 0$

したがって、$y=2$ または $y=5$

$y=2$ のとき、$x = 10 - 2(2) = 6$ となり、$x^3y^2 = 6^3 \cdot 2^2 = 216 \cdot 4 = 864$ となります。

$y=5$ のとき、$x = 10 - 2(5) = 0$ となり、$x^3y^2 = 0^3 \cdot 5^2 = 0$ となります。

$g''(y) = 2000 - 3600y + 1440y^2 - 160y^3$

$g''(2) = 2000 - 7200 + 5760 - 1280 = -720 < 0$ なので、$y=2$ は極大値を与えます。

$g''(5) = 2000 - 18000 + 36000 - 20000 = 0$ なので、$y=5$ のときは最大値にはなりません。

したがって、$x=6, y=2$ のとき、$x^3y^2$ は最大値 $864$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $x=1, y=1$ のとき、最大値は $1$ です。

(2) $x=6, y=2$ のとき、最大値は $864$ です。