クラブの部長選挙と委員選出に関する問題です。 (1) 会話文中の空欄を埋めます。 (2) 13人の部員から委員を1人選ぶとき、大志さんが必ず委員になるために必要な票数を求めます。 (3) 13人の部員から委員を2人選ぶとき、大志さんが必ず委員になるために必要な票数を求めます。

1. 問題の内容

クラブの部長選挙と委員選出に関する問題です。

(1) 会話文中の空欄を埋めます。

(2) 13人の部員から委員を1人選ぶとき、大志さんが必ず委員になるために必要な票数を求めます。

(3) 13人の部員から委員を2人選ぶとき、大志さんが必ず委員になるために必要な票数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) アについて

大志さんが自分ともう1人だけに票が集まった場合、票が多い方が必ず部長になれるので、大志さんが過半数、つまり6票取れば必ず部長になれます。

よって、アには6が入ります。

イについて

大志さんの得票を $x$ とすると、残りの票数は $11 - x$ です。大志さんが必ず1位になるためには、自分の得票数 $x$ が残りの票数 $11-x$ 以上でなければなりません。

よって、$x \geq 11-x$ という不等式ができます。

したがって、イには $\geq$ が入ります。

(2) 13人の部員から委員を1人選ぶ場合、大志さんが $x$ 票を得票したとします。他の部員の票数は合計で $13 - x$ 票です。大志さんが必ず委員になるためには、$x$ が他のどの部員の得票数よりも多い必要があります。他の部員が最も有利な状況は、他の部員全員がほぼ同じ票数を得ている場合です。

仮に、他の12人がそれぞれ1票ずつ取ったとすると、合計12票です。

この場合、大志さんが1票でも多く票を得て、他の誰よりも多くの票を得る必要があります。

大志さん以外の部員が最大で得られる票数を $m$ とすると、$x > m$ が成り立てば良いことになります。

ここで、$13 - x \leq 12m$ かつ $x > m$ が必要となります。大志さんが必ず委員になるためには、大志さんの票数が他の誰よりも多くなければなりません。他の部員の票がなるべく集中するように考えると、大志さん以外の票が1人に集中し、その人が他の人より1票少ないという状況を考えます。

つまり、大志さんの票数を $x$ とすると、$x$ は $13$ を $2$ で割った数（$6.5$）以上の最小の整数でなければなりません。したがって、$x = 7$ です。

$x = 7$ のとき、他の12人の中で、1人が最大で6票獲得できます。

大志さんが7票以上得票すれば、必ず委員になれます。

(3) 13人の部員から委員を2人選ぶ場合、大志さんが必ず委員になるためには、上位2人に入る必要があります。

他の12人のうち1人が大志さん以上の票を得ると、大志さんは上位2人に入ることができません。

他の12人がなるべく票を集中させるように考える必要があります。大志さんの得票を $x$ とすると、残りの票は $13-x$ です。大志さんが確実に上位2人に入るためには、少なくとも $x$ 票が必要です。

他の12人が最大で$x$票獲得する場合に、大志さんが委員になるためには、$x$ が $13/3 = 4.33...$ より大きくなくてはいけません。そうすると、上位3人が同数になる可能性があるため、少なくとも4票を獲得する必要がある。大志さんが確実に上位2人に入るためには、他の人たちにできる限り票が集中しないようにする必要があるので、大志さんが $n$ 票を得ているとき、もう一人の委員の得票数も $n$ 票だと仮定することができます。そのとき、$13-n$ 票が他の人たちに配られます。この票をできるだけ1人に集中させた方が、大志さんにとって不利になります。

大志さんの票数が $x$ である場合、もう一人の当選者の票数も $x$ であり、他の11人の票の合計は $13 - 2x$ です。この $13 - 2x$ をできるだけ1人に集中させると、その人は最大で $13 - 2x$ 票を得ることになります。大志さんが必ず委員になるためには、$x > 13 - 2x$ が成り立たなければなりません。

$3x > 13$

$x > 13/3 = 4.333...$

したがって、大志さんは最低5票必要です。

3. 最終的な答え

(1) ア: 6, イ: $\geq$

(2) 7票

(3) 5票