## 問題の要約

## 問題の要約

TさんはM駅の近くに家を建てたいと考え、8箇所の住宅地についてM駅からの距離X(単位:m)と地価Y(単位:万円/m²)を調査しました。そのデータを用いて、散布図の作成、偏差平方和・偏差積和・相関係数の計算、回帰分析、地価の推定などを行い、回帰モデルの妥当性について考察します。

## 解き方の手順

2.(1) 横軸をX(M駅からの距離)、縦軸をY(地価)として、与えられたデータをプロットして散布図を作成します。

2.(2) 偏差平方和 $S_x$, $S_y$ と偏差積和 $S_{xy}$ は以下の式で計算できます。

まず、XとYの平均 $\bar{X}$, $\bar{Y}$を計算します。

$\bar{X} = \frac{200+440+140+350+320+170+400+240}{8} = \frac{2260}{8} = 282.5$

$\bar{Y} = \frac{30+12+36+18+24+32+16+32}{8} = \frac{200}{8} = 25$

次に、$S_x$, $S_y$, $S_{xy}$を計算します。

$S_x = \sum_{i=1}^8 (X_i - \bar{X})^2 = (200-282.5)^2 + (440-282.5)^2 + (140-282.5)^2 + (350-282.5)^2 + (320-282.5)^2 + (170-282.5)^2 + (400-282.5)^2 + (240-282.5)^2 = 68062.5$

$S_y = \sum_{i=1}^8 (Y_i - \bar{Y})^2 = (30-25)^2 + (12-25)^2 + (36-25)^2 + (18-25)^2 + (24-25)^2 + (32-25)^2 + (16-25)^2 + (32-25)^2 = 426$

$S_{xy} = \sum_{i=1}^8 (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = (200-282.5)(30-25) + (440-282.5)(12-25) + (140-282.5)(36-25) + (350-282.5)(18-25) + (320-282.5)(24-25) + (170-282.5)(32-25) + (400-282.5)(16-25) + (240-282.5)(32-25) = -14335$

2.(3) 相関係数 $r_{xy}$ は以下の式で計算できます。

$r_{xy} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_x S_y}} = \frac{-14335}{\sqrt{68062.5 \times 426}} = \frac{-14335}{\sqrt{29003612.5}} = \frac{-14335}{5385.5} \approx -0.266$

2.(4) 回帰式 $y = a + bx$ を仮定し、パラメータ$a$, $b$を求めます。

$b = \frac{S_{xy}}{S_x} = \frac{-14335}{68062.5} \approx -0.2106$

$a = \bar{Y} - b\bar{X} = 25 - (-0.2106) \times 282.5 = 25 + 59.49 = 84.49$

したがって、回帰式は $y = 84.49 - 0.2106x$ となります。

2.(5) (1)で作成した散布図に、直線 $y = 84.49 - 0.2106x$ を描きます。

2.(6) M駅からの距離が300mのときの地価の推定値は、回帰式に$x=300$を代入して求めます。

$y = 84.49 - 0.2106 \times 300 = 84.49 - 63.18 = 21.31$ (万円/m²)

2.(7) M駅からの距離が500mのときの地価の推定値は、回帰式に$x=500$を代入して求めます。

$y = 84.49 - 0.2106 \times 500 = 84.49 - 105.3 = -20.81$ (万円/m²)

2.(8) M駅からの距離が1000mのときの地価の推定値は、回帰式に$x=1000$を代入して求めます。

$y = 84.49 - 0.2106 \times 1000 = 84.49 - 210.6 = -126.11$ (万円/m²)

2.(9) M駅からの距離が2000mのときの地価の推定値は、回帰式に$x=2000$を代入して求めます。

$y = 84.49 - 0.2106 \times 2000 = 84.49 - 421.2 = -336.71$ (万円/m²)

2.(10) (6), (7), (8), (9)で求めた地価の推定値について、考察します。

(7), (8), (9)では地価が負の値になっているため、妥当ではありません。これは、回帰モデルがデータの範囲外で適用されているためです。

回帰モデルを改善するためには、より多くのデータを用いて、より複雑なモデル（例えば、二次関数や指数関数）を検討する必要があります。また、M駅からの距離以外の要因（例えば、周辺環境、土地の形状など）も考慮に入れる必要があります。

3.(1) 記述統計学は、データの要約や特徴を記述することに焦点を当てます(平均、標準偏差など)。一方、推測統計学は、標本データから母集団に関する推論を行うことに焦点を当てます。

3.(2) 数学的確率は、理論的なモデルに基づいて計算される確率です（コインを投げるなど）。統計的確率・経験的確率は、過去のデータや経験に基づいて推定される確率です。

3.(3) 平均値は、データの総和をデータの個数で割った値です。中央値は、データを大きさ順に並べたときの中央に位置する値です。

3.(4) 相関関係は、2つの変数の間に何らかの関係があることを示しますが、一方が他方の原因であるとは限りません。因果関係は、一方が他方の原因であることを示します。

3.(5) 説明変数は、他の変数を説明するために用いられる変数です。目的変数（被説明変数）は、説明変数によって説明される変数です。

## 最終的な答え

2.(2) $S_x = 68062.5$, $S_y = 426$, $S_{xy} = -14335$

2.(3) $r_{xy} \approx -0.266$

2.(4) $y = 84.49 - 0.2106x$

2.(6) 21.31万円/m²

2.(7) -20.81万円/m²

2.(8) -126.11万円/m²

2.(9) -336.71万円/m²