7枚のカード（1から7までの数字が書かれている）から5枚を選び、横一列に並べる問題を考える。 (1) 1, 2, 3, 4, 5 のカードを使って並べる場合、並べ方は全部で何通りあるか。 (2) 7枚のカードから5枚を選んで並べる場合、並べ方は全部で何通りあるか。また、このうち、両端のカードに書かれた数が奇数であるような並べ方は全部で何通りあるか。

はい、承知いたしました。問題と解答を以下に示します。

1. 問題の内容

7枚のカード（1から7までの数字が書かれている）から5枚を選び、横一列に並べる問題を考える。

(1) 1, 2, 3, 4, 5 のカードを使って並べる場合、並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 7枚のカードから5枚を選んで並べる場合、並べ方は全部で何通りあるか。また、このうち、両端のカードに書かれた数が奇数であるような並べ方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 1, 2, 3, 4, 5 の5枚のカードを並べるので、5枚の並べ方の総数を求める。これは5の階乗（5!）で計算できる。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

(2) 7枚のカードから5枚を選んで並べる場合、まず7枚から5枚を選ぶ組み合わせを考え、次に選んだ5枚の並べ方を考える。しかし、ここでは順番を考慮するので、順列の考え方を用いる。7枚から5枚を選んで並べる順列は $_7P_5$ で表され、以下のように計算される。

$_7P_5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$

次に、両端のカードが奇数である場合を考える。1から7までの奇数は1, 3, 5, 7 の4つである。

まず両端の2つの場所に奇数を配置する。4つの奇数から2つを選んで並べる順列は $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$通り。

次に、残りの5枚のカードから3枚を選び、真ん中の3つの場所に並べる。残りのカードは5枚なので、この3枚の並べ方は $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

したがって、両端が奇数であるような並べ方は $12 \times 60 = 720$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) カードの置き方: 2520通り

両端が奇数のカードの置き方: 720通り