H電器製の洗濯機の寿命Xが平均10年の指数分布に従うとき、(1)寿命Xが従う確率密度関数を求め、(2)5年以内に洗濯機が壊れる確率を求めます。

1. 問題の内容

H電器製の洗濯機の寿命Xが平均10年の指数分布に従うとき、(1)寿命Xが従う確率密度関数を求め、(2)5年以内に洗濯機が壊れる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 指数分布の確率密度関数は一般的に、

$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ ($x \geq 0$)

と表されます。ここで、$\lambda$ は率パラメータであり、平均が $\frac{1}{\lambda}$ です。問題文より、平均が10年なので、

$\frac{1}{\lambda} = 10$

したがって、

$\lambda = \frac{1}{10}$

よって、確率密度関数は、

$f(x) = \frac{1}{10} e^{-\frac{1}{10}x}$ ($x \geq 0$)

(2) 5年以内に洗濯機が壊れる確率は、$P(0 \leq X \leq 5)$ であり、これは確率密度関数を0から5まで積分することで求められます。

$P(0 \leq X \leq 5) = \int_{0}^{5} f(x) dx = \int_{0}^{5} \frac{1}{10} e^{-\frac{1}{10}x} dx$

$= \left[ -e^{-\frac{1}{10}x} \right]_{0}^{5} = -e^{-\frac{1}{10}(5)} - (-e^{-\frac{1}{10}(0)})$

$= -e^{-\frac{1}{2}} + 1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{e}}$

3. 最終的な答え

(1) ア=10, ウエ=10

(2) オ=1, カ=1