1つのサイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定める。ルールAに従って、1回目、2回目、3回目の得点の確率や期待値、条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

1つのサイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定める。ルールAに従って、1回目、2回目、3回目の得点の確率や期待値、条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

* **1回目の得点**

* 1回目の得点が7点となるのは、1回目に1が出たときのみ。サイコロの目は1から6までなので、1が出る確率は $\frac{1}{6}$。したがって、ア = 1, イ = 6。

* 1回目の得点が4点以上となるのは、4, 5, 6のいずれかが出たとき。確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。したがって、ウ = 1, エ = 2。

* 1回目の得点の期待値は、各得点と確率の積の和。つまり、$1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$。したがって、オ = 3, カ = 5。

* **2回目の得点**

* 2回目の得点が7点となるのは、2回目に初めて1が出たとき。これは、1回目に1以外が出て、2回目に1が出る場合。確率は $\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$。したがって、キ = 5, クケ = 36。

* 2回目の得点が1点となるのは、2回目に初めて1が出ず、2回目の出目が1の場合。つまり、1回目は何が出てもよく（1以外）、2回目は1が出ない。しかし問題文には「2回目の得点が1点である確率」とあるので、2回目の目が1である確率を求めればよく、これは $\frac{1}{6}$。

したがって、コ = 1, サシ = 6。

* **3回目の得点**

* 3回目の得点が1点となるのは、3回目に初めて1が出ず、3回目の出目が1の場合。これは、1回目、2回目に1が出ず、3回目に1が出たとき。確率は $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$。したがって、スセ = 25, ソタチ = 216。

* **条件付き確率**

* 3回目の得点が1点であったとき、2回目の得点が7点である条件付き確率を求める。これは、$P(2回目の得点=7 | 3回目の得点=1)$ で表される。

ベイズの定理を用いると、$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$。ここで、

A: 2回目の得点が7点, B: 3回目の得点が1点

$P(A) = \frac{5}{36}$ (2回目の得点が7点である確率)

$P(B) = \frac{25}{216}$ (3回目の得点が1点である確率)

$P(B|A)$ は、2回目の得点が7点であるときに3回目の得点が1点である確率。2回目の得点が7点になるのは、1回目に1以外の目が出て、2回目に1が出るとき。このとき、3回目に1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$。したがって、$P(B|A) = \frac{1}{6}$。

よって、$P(A|B) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{5}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{\frac{5}{216}}{\frac{25}{216}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$。したがって、ツ = 1, テト = 5。

3. 最終的な答え

ア = 1, イ = 6

ウ = 1, エ = 2

オ = 3, カ = 5

キ = 5, クケ = 36

コ = 1, サシ = 6

スセ = 25, ソタチ = 216

ツ = 1, テト = 5