1から6の目を持つさいころが与えられ、それぞれの目が出る確率が表に示されている。このさいころを3回振る。 (1) 1の目と6の目がそれぞれ1回だけ出る確率を求める。 (2) 出た目の数の積が12になる確率を求める。

1. 問題の内容

1から6の目を持つさいころが与えられ、それぞれの目が出る確率が表に示されている。このさいころを3回振る。

(1) 1の目と6の目がそれぞれ1回だけ出る確率を求める。

(2) 出た目の数の積が12になる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1の目と6の目がそれぞれ1回だけ出る確率を求める。

- 1の目が出る確率は $\frac{1}{4}$。

- 6の目が出る確率は $\frac{1}{12}$。

- 3回のうち、1の目と6の目が出る回を決定する組み合わせは $_3P_2 = 3 \times 2 = 6$ 通り。例えば (1, 6, その他), (1, その他, 6), (6, 1, その他), (6, その他, 1), (その他, 1, 6), (その他, 6, 1)

- 3回目の目は1でも6でもない。その確率は $1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{12-3-1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$。

- よって、求める確率は $6 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{12} \times \frac{2}{3} = 6 \times \frac{2}{144} = \frac{12}{144} = \frac{1}{12}$

(2) 出た目の数の積が12となる確率を求める。

3回の目の出方の組み合わせで積が12になるのは以下の組み合わせが考えられる。

- (1, 1, 12) -> 12は存在しないので、ありえない。

- (1, 2, 6)

- (1, 3, 4)

- (2, 2, 3)

それぞれの組み合わせの確率と並べ方を考える。

- (1, 2, 6)の場合、並べ方は3! = 6通り。確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{12} \times 6 = \frac{6}{288} = \frac{1}{48}$

- (1, 3, 4)の場合、並べ方は3! = 6通り。確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 6 = \frac{6}{144} = \frac{1}{24}$

- (2, 2, 3)の場合、並べ方は$\frac{3!}{2!} = 3$通り。確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times 3 = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}$

よって、積が12となる確率は $\frac{1}{48} + \frac{1}{24} + \frac{1}{72} = \frac{3}{144} + \frac{6}{144} + \frac{2}{144} = \frac{11}{144}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{12}$

(2) $\frac{11}{144}$