帰無仮説 $H_0: p = p_0$、対立仮説 $H_1: p \neq p_0$ に対して、検定統計量 $Z = \frac{\bar{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ を用いる。$n$が十分大きいとき、$Z$は$H_0$の下で標準正規分布で近似できる。この検定はどのような検定であり、有意水準が0.05のとき、どのような場合に帰無仮説が棄却されるか。

1. 問題の内容

帰無仮説 $H_0: p = p_0$、対立仮説 $H_1: p \neq p_0$ に対して、検定統計量

$Z = \frac{\bar{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$

を用いる。$n$が十分大きいとき、$Z$は$H_0$の下で標準正規分布で近似できる。この検定はどのような検定であり、有意水準が0.05のとき、どのような場合に帰無仮説が棄却されるか。

2. 解き方の手順

まず、与えられた対立仮説 $H_1: p \neq p_0$ は、$p$が$p_0$と異なることを示しているので、両側検定である。

有意水準が0.05の場合、両側検定では、棄却域は標準正規分布の両端に分かれ、それぞれの領域の確率は0.025となる。標準正規分布表または計算ツールを用いて、累積確率が0.025となる$z$値を求めると、約-1.96となる。また、累積確率が0.975となる$z$値を求めると、約1.96となる。したがって、$|Z| > 1.96$ のとき、帰無仮説は有意水準0.05で棄却される。

3. 最終的な答え

この検定は**両側**検定であり、有意水準を0.05とすると、**$|Z| > 1.96$**となるとき、**帰無**仮説は有意水準0.05で棄却される。