6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個を選んで3桁の自然数を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 3桁の自然数は何通りできるか。 (2) 3桁の自然数のうち、2の倍数になるものは何通りあるか。 (3) 3桁の自然数のうち、3の倍数になるものは何通りあるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個を選んで3桁の自然数を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 3桁の自然数は何通りできるか。

(2) 3桁の自然数のうち、2の倍数になるものは何通りあるか。

(3) 3桁の自然数のうち、3の倍数になるものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数の個数について

百の位には0以外の数字が入るので、5通りの選択肢がある。

十の位には百の位で使用した数字以外の数字が入るので、5通りの選択肢がある。

一の位には百の位と十の位で使用した数字以外の数字が入るので、4通りの選択肢がある。

したがって、3桁の自然数の個数は $5 \times 5 \times 4 = 100$ 通りである。

(2) 3桁の自然数で2の倍数になるものの個数について

3桁の自然数が2の倍数になるためには、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要がある。

(i) 一の位が0の場合

百の位は0以外の5通り、十の位は残りの4通りなので、 $5 \times 4 = 20$ 通り。

(ii) 一の位が2または4の場合

百の位は0と一の位の数字以外なので、4通り。

十の位は残りの4通りなので、 $4 \times 4 = 16$ 通り。

一の位が2または4なので、2通り。

よって、 $16 \times 2 = 32$ 通り。

合計は $20+32=52$ 通りである。

(3) 3桁の自然数で3の倍数になるものの個数について

3桁の自然数が3の倍数になるためには、3つの数字の和が3の倍数になる必要がある。

6つの数字を3で割った余りで分類すると、

余り0：0, 3

余り1：1, 4

余り2：2, 5

3つの数の和が3の倍数になる組み合わせは以下の通り。

(i) 全て余り0：(0, 3)から3つ選ぶことは不可能

(ii) 全て余り1：(1, 4)から3つ選ぶことは不可能

(iii) 全て余り2：(2, 5)から3つ選ぶことは不可能

(iv) 余り0, 1, 2を1つずつ：

(0, 1, 2), (0, 1, 5), (0, 4, 2), (0, 4, 5), (3, 1, 2), (3, 1, 5), (3, 4, 2), (3, 4, 5)

(v) 余り0を3つ：(0, 3)から３つ選ぶことは不可能

(vi) 余り1を3つ：(1, 4)から3つ選ぶことは不可能

(vii) 余り2を3つ：(2, 5)から3つ選ぶことは不可能

(iv)の場合：

(0, 1, 2), (0, 1, 5), (0, 4, 2), (0, 4, 5) の場合、百の位に0が使えないので、 $2 \times 2 = 4$ 通り。十の位は残りの2通り、一の位は1通りなので、各組み合わせについて $2 \times 2 \times 1 = 4$通り。よって、 $4 \times 4 = 16$通り。

(3, 1, 2), (3, 1, 5), (3, 4, 2), (3, 4, 5) の場合、百の位は3通り、十の位は2通り、一の位は1通りなので、各組み合わせについて $3 \times 2 \times 1 = 6$通り。よって、$4 \times 6 = 24$通り。

合計 $16 + 24 = 40$通り。

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 52通り

(3) 40通り