半径が 5cm、弧の長さが $8\pi$ cm の扇形の中心角と面積を求める問題です。

1. 問題の内容

半径が 5cm、弧の長さが $8\pi$ cm の扇形の中心角と面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 中心角を求める。

扇形の弧の長さ $l$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ (ラジアン) を用いて、$l = r\theta$ と表されます。

この問題では、$r = 5$ cm, $l = 8\pi$ cm なので、

$8\pi = 5\theta$

$\theta = \frac{8\pi}{5}$ ラジアン

度数法に変換するためには、$180^{\circ} = \pi$ ラジアンの関係を使用します。

$\theta \text{ (度)} = \frac{8\pi}{5} \times \frac{180}{\pi} = \frac{8 \times 180}{5} = 8 \times 36 = 288^{\circ}$

(2) 面積を求める。

扇形の面積 $S$ は、半径 $r$ と中心角 $\theta$ (ラジアン) を用いて、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ と表されます。

この問題では、$r = 5$ cm, $\theta = \frac{8\pi}{5}$ ラジアンなので、

$S = \frac{1}{2} \times 5^2 \times \frac{8\pi}{5} = \frac{1}{2} \times 25 \times \frac{8\pi}{5} = \frac{25 \times 8\pi}{10} = \frac{200\pi}{10} = 20\pi$ cm$^2$

3. 最終的な答え

中心角: 288°

面積: $20\pi$ cm$^2$