長方形ABCDがあり、AB = 8cm, BC = 10cmである。点PはAを出発し、辺AB, BC, CD上をA→B→C→Dの順に毎秒2cmで移動する。点Pが辺BC上を動くとき、Aを出発してからx秒後の三角形ADPの面積y (cm²)をxの式で表す。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB = 8cm, BC = 10cmである。点PはAを出発し、辺AB, BC, CD上をA→B→C→Dの順に毎秒2cmで移動する。点Pが辺BC上を動くとき、Aを出発してからx秒後の三角形ADPの面積y (cm²)をxの式で表す。

2. 解き方の手順

まず、点Pが辺BC上にあるときのxの範囲を求める。点PがAからBまで移動するのにかかる時間は、$8cm / 2cm/秒 = 4秒$ である。点PがBからCまで移動するのにかかる時間は、$10cm / 2cm/秒 = 5秒$ である。したがって、点Pが辺BC上にあるのは、$4 \le x \le 9$ のときである。

次に、BPの長さを求める。点PがAを出発してからx秒後のBPの長さは、$2x - 8$ cmである。なぜなら、点Pは4秒後にBに到達し、そこから$x-4$秒間、毎秒2cmで移動するので、BPの長さは $2(x-4) = 2x-8$ cmとなる。

三角形ADPの面積は、長方形ABCDの面積から、三角形ABP, 三角形CDP, 三角形ADPを引くことで求めることもできるが、ここでは直接計算する。三角形ADPの面積は、$AD \times 高\さ \times \frac{1}{2}$で求める。ADは長方形の縦の長さなので10cmである。PからADへの垂線の長さは、長方形の横の長さからBPを引いたものなので、8cm - (2x-8cm) = 16-2x となる。

しかしこれは間違いである。点Pが辺BC上にあるとき、三角形ADPの高さは長方形の辺ABの長さに等しく8cmである。したがって、三角形ADPの面積yは、

$y = \frac{1}{2} \times AD \times AB = \frac{1}{2} \times AD \times 8 = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$となることはありえない。

点PからADまでの距離はABの長さに等しく8cmである。したがって、三角形ADPの面積は

$y = \frac{1}{2} \times AD \times \text{高さ} = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$

となる。

PがBC上にあるとき三角形ADPの面積yは常に40である。これは問題文に矛盾している。

再度、PがBC上に移動した時、点PからADへの垂線の長さは常にABの長さに等しく8cmである。

従って三角形ADPの面積yは

$y = \frac{1}{2} \times AD \times 8 = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$ となる。

範囲は、$4 \le x \le 9$

3. 最終的な答え

$y = 40$ ($4 \le x \le 9$)