長方形ABCDがあり、AB=12cm, BC=3cmである。点PはAからBへ秒速2cmで、点QはCからD、DからCと秒速3cmで移動する。PがBに到着した時点で両点の移動は止まる。出発からx秒後の、長方形ABCDから三角形PBCと三角形ADQを引いた面積がy cm²で、y=28となるxの値を求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、AB=12cm, BC=3cmである。点PはAからBへ秒速2cmで、点QはCからD、DからCと秒速3cmで移動する。PがBに到着した時点で両点の移動は止まる。出発からx秒後の、長方形ABCDから三角形PBCと三角形ADQを引いた面積がy cm²で、y=28となるxの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、長方形ABCDの面積を求める。

次に、三角形PBCと三角形ADQの面積をxの関数として表す。

長方形ABCDの面積から三角形PBCと三角形ADQの面積を引いたものがyであり、y=28となるxの値を求める。

(1) 長方形ABCDの面積：

$12 \times 3 = 36$ cm²

(2) 点PがAからBに到着するまでの時間：

$12 \div 2 = 6$ 秒

(3) 0 ≦ x ≦ 6 のとき

BP = 12 - 2x なので、三角形PBCの面積は：

$\frac{1}{2} \times (12 - 2x) \times 3 = \frac{3}{2}(12 - 2x) = 18 - 3x$

(4) 0 ≦ x ≦ 2 のとき

CQ = 3x なので、三角形ADQの面積は：

$\frac{1}{2} \times 3x \times 3 = \frac{9}{2}x$

(5) 2 < x ≦ 4 のとき

点QはDからCへ移動している。DQ = 3(x - 2) なので、

AQ = 12 - 3(x - 2) = 12 - 3x + 6 = 18 - 3x

三角形ADQの面積は：

$\frac{1}{2} \times (18 - 3x) \times 3 = \frac{3}{2}(18 - 3x) = 27 - \frac{9}{2}x$

(6) 4 < x ≦ 6 のとき

点QはCからDへ移動している。CQ = 3(x - 4) なので、

DQ = 12 - 3(x - 4) = 12 - 3x + 12 = 24 - 3x

三角形ADQの面積は：

$\frac{1}{2} \times (24 - 3x) \times 3 = \frac{3}{2}(24 - 3x) = 36 - \frac{9}{2}x$

(7) y = 28 となるとき

0 ≦ x ≦ 2 のとき:

$36 - (18 - 3x) - \frac{9}{2}x = 28$

$36 - 18 + 3x - \frac{9}{2}x = 28$

$18 - \frac{3}{2}x = 28$

$-\frac{3}{2}x = 10$

$x = -\frac{20}{3}$

これは 0 ≦ x ≦ 2 の範囲外なので不適

2 < x ≦ 4 のとき:

$36 - (18 - 3x) - (27 - \frac{9}{2}x) = 28$

$36 - 18 + 3x - 27 + \frac{9}{2}x = 28$

$-9 + \frac{15}{2}x = 28$

$\frac{15}{2}x = 37$

$x = \frac{74}{15} \approx 4.93$

これは 2 < x ≦ 4 の範囲外なので不適

4 < x ≦ 6 のとき:

$36 - (18 - 3x) - (36 - \frac{9}{2}x) = 28$

$36 - 18 + 3x - 36 + \frac{9}{2}x = 28$

$-18 + \frac{15}{2}x = 28$

$\frac{15}{2}x = 46$

$x = \frac{92}{15} \approx 6.13$

これは 4 < x ≦ 6 の範囲外なので不適

ただし、点QはC, Dを往復するので、点QがCに到達する時間は2秒、Dに到達する時間は4秒である。PがBに到達する時間は6秒である。そのため、xは0から6までの値を取りうる。しかし、解は得られなかった。

問題文を読み直すと、QはC→D→C→Dと移動すると書かれている。しかし、PがBに到着するまでにQがC→D→C→Dと移動し終えることはない。

もし問題文が、QはC→D→Cと移動すると読めるとする。このとき、QはDに2秒で着き、Cに4秒で着く。

0 ≦ x ≦ 2 のとき:

$36 - (18 - 3x) - \frac{9}{2}x = 28$

$18 - \frac{3}{2}x = 28$

$-\frac{3}{2}x = 10$

$x = -\frac{20}{3}$

これは不適

2 < x ≦ 4 のとき、QはDからCに向かっている。

Cからの距離は3(x-2)cmである。

ADQ = 3*3(x-2)/2 = 9/2 (x-2)

$36-(18-3x) - (9/2(x-2)) = 28$

$36-18+3x - 9/2x + 9 = 28$

$27 + 6x/2 - 9x/2 = 28$

$27-3x/2 = 28$

$-3x/2 = 1$

$x = -2/3$

これは不適

問題文に誤りがあるか、解が存在しない可能性がある。

3. 最終的な答え

解なし