(1) $x > 0$, $y > 0$ のとき、$(2x+3y)(\frac{2}{x}+\frac{3}{y})$ の最小値を求める問題です。 (2) $3x+y=1$ のとき、$\frac{3}{x} + \frac{5}{y}$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $x > 0$, $y > 0$ のとき、$(2x+3y)(\frac{2}{x}+\frac{3}{y})$ の最小値を求める問題です。

(2) $3x+y=1$ のとき、$\frac{3}{x} + \frac{5}{y}$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を展開します。

$(2x+3y)(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}) = 2x \cdot \frac{2}{x} + 2x \cdot \frac{3}{y} + 3y \cdot \frac{2}{x} + 3y \cdot \frac{3}{y} = 4 + \frac{6x}{y} + \frac{6y}{x} + 9 = 13 + \frac{6x}{y} + \frac{6y}{x}$

$x>0$, $y>0$ より、$\frac{x}{y} > 0$, $\frac{y}{x} > 0$ なので、相加相乗平均の関係が使えます。

$\frac{6x}{y} + \frac{6y}{x} \ge 2 \sqrt{\frac{6x}{y} \cdot \frac{6y}{x}} = 2 \sqrt{36} = 2 \cdot 6 = 12$

したがって、$(2x+3y)(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}) \ge 13 + 12 = 25$

等号成立は $\frac{6x}{y} = \frac{6y}{x}$, つまり $\frac{x}{y} = 1$ のときで、$x=y$ です。

(2)

$3x+y = 1$ より $y = 1-3x$ です。 $y > 0$ なので、$1-3x > 0$ つまり $x < \frac{1}{3}$ です。

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{3}{x} + \frac{5}{1-3x}$

$3x+y = 1$ を利用するために、$(\frac{3}{x} + \frac{5}{y})(3x+y)$ を考えます。

$(\frac{3}{x} + \frac{5}{y})(3x+y) = 9 + \frac{3y}{x} + \frac{15x}{y} + 5 = 14 + \frac{3y}{x} + \frac{15x}{y}$

相加相乗平均の関係を使うには定数項にしたいので、

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = (\frac{3}{x} + \frac{5}{y}) \cdot 1 = (\frac{3}{x} + \frac{5}{y})(3x+y) = 9 + \frac{3y}{x} + \frac{15x}{y} + 5 = 14 + \frac{3y}{x} + \frac{15x}{y}$

$14 + \frac{3y}{x} + \frac{15x}{y} \ge 14 + 2\sqrt{\frac{3y}{x} \cdot \frac{15x}{y}} = 14 + 2\sqrt{45} = 14 + 2 \cdot 3 \sqrt{5} = 14 + 6\sqrt{5}$

$(\frac{3}{x} + \frac{5}{y})(3x+y) = 14+6\sqrt{5}$なので、$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} \ge 14 + 6 \sqrt{5}$

しかし、問題文に $3x+y = 1$ とあるので相加相乗平均は適用できません。

コーシー・シュワルツの不等式を利用します。

$(ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2)$

$(\sqrt{3/x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{5/y} \cdot \sqrt{y})^2 \le (\frac{3}{x}+\frac{5}{y})(x+y)$

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8+2\sqrt{15}$

$(\frac{3}{x}+\frac{5}{y})(x+y)$

$(\sqrt{\frac{3}{x}} \sqrt{x} + \sqrt{\frac{5}{y}} \sqrt{y})^2 \le (\frac{3}{x} + \frac{5}{y})(x+y)$

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 \le (\frac{3}{x} + \frac{5}{y})(x+y)$

$3x+y=1$より$y=1-3x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{1-3x} \ge$

$(\sqrt{ax}+\sqrt{by})^2 \le (a+b)(x+y)$

ここで、$9x + y^2$ となるので、これでは適用できません。

$((\sqrt{3/x})\sqrt{x}+(\sqrt{5/y})\sqrt{y})^2 \le (\frac{3}{x}+\frac{5}{y})(x+y)$

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 \le (\frac{3}{x} + \frac{5}{y})(x+y)$

$8 + 2\sqrt{15} \le (\frac{3}{x} + \frac{5}{y})(x+y)$

$\frac{3x}{x} + \frac{y}{y}=1$ なので Cauchy Schwarz の不等式を使います。

$(\sqrt{\frac{3}{x}}^2x+\sqrt{\frac{5}{y}}^2y)((\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2) \le \sqrt{(\frac{3}{x})+\frac{5}{y}}\sqrt{x+y})^2$

$(ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2)$

$(\frac{a}{\sqrt{x}}\sqrt{x} + \frac{b}{\sqrt{y}}\sqrt{y})^2 \le (\frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{y}) (x+y)$

$(\frac{3}{x}+\frac{5}{y})(3x+y) \ge (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} \ge (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2=8+2\sqrt{15}$

$y=1-3x$.

$(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}} \sqrt{x}+ (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{y}})\sqrt{y} )^2 \le ( (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}})^2 + (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{y}})^2) ((\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2)$

$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 \le (\frac{3}{x}+\frac{5}{y}) ( x+ y )$

$( (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}\sqrt{3x}) + (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{y}}\sqrt{y}) )^2 = 9 + 5 y$

$(ax+by)^2 \le (a^2+b^2)(x^2+y^2)$

$(\sqrt{\frac{3x}{x}}^2+ \sqrt{\frac{y}{y}})$

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) $14+6\sqrt{5}$

3 4+ 5√ 6

最終的な答え

(1) 25

(2) $14 + 6\sqrt{5}$