与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ について、定義域が指定されていない場合の最大値・最小値を求める問題と、定義域が $0 \le x \le 4$ で指定されている場合の最大値・最小値を求める問題の2つがあります。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ について、定義域が指定されていない場合の最大値・最小値を求める問題と、定義域が $0 \le x \le 4$ で指定されている場合の最大値・最小値を求める問題の2つがあります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 4x) + 5$

$y = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = 2((x-2)^2 - 4) + 5$

$y = 2(x-2)^2 - 8 + 5$

$y = 2(x-2)^2 - 3$

この式から、頂点の座標が $(2, -3)$ であることがわかります。また、$x^2$ の係数が正であるため、グラフは下に凸の放物線となります。

(1) 定義域が指定されていない場合

下に凸の放物線なので、頂点で最小値をとり、最大値は存在しません。

(2) 定義域が $0 \le x \le 4$ の場合

頂点の $x$ 座標 $x = 2$ は定義域内に含まれています。

$x = 2$ のとき、$y = -3$ (最小値)

次に、定義域の端点である $x = 0$ と $x = 4$ での $y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 8(0) + 5 = 5$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4)^2 - 8(4) + 5 = 32 - 32 + 5 = 5$

したがって、最大値は $5$ （$x = 0$ または $x = 4$ のとき）。

3. 最終的な答え

(1) 定義域が指定されていない場合

最小値：$-3$

最大値：なし

(2) 定義域が $0 \le x \le 4$ の場合

最小値：$-3$

最大値：$5$