半径1の円に内接する $AB = AC$ の二等辺三角形 $ABC$ があります。$\angle ABC$ の大きさを $\theta$ とするとき、三角形 $ABC$ の周の長さを $\theta$ で表す問題です。

1. 問題の内容

半径1の円に内接する $AB = AC$ の二等辺三角形 $ABC$ があります。$\angle ABC$ の大きさを $\theta$ とするとき、三角形 $ABC$ の周の長さを $\theta$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$O$ から辺 $BC$ に垂線 $OD$ を引きます。すると、$D$ は $BC$ の中点になります。$\angle ABC = \theta$ なので、$\angle BOC = 2\angle BAC = 2(180^\circ - 2\theta) = 360^\circ - 4\theta$ です。しかし、$O$ から垂線を引いたので、$\angle BOD = \frac{1}{2} \angle BOC = 180^\circ - 2\theta$ となります。また、$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2(\pi - 2\theta)$ ですから、$\angle BOD = \pi - 2\theta$となります。

あるいは、$\angle BOD = \angle BAC = \pi-2\theta = 180^\circ -2\theta$ です。

したがって、$BD = OB \sin \angle BOD = \sin \theta$ となります。$BC = 2BD = 2\sin (\pi/2 - \theta) = 2 \cos \theta$。

半径は1なので、$OB=1$であり、$BC=2BD=2\cos(\pi/2 - \theta) = 2\sin \theta$ 。

次に、$AB$ の長さを求めます。$\angle AOB = 2\angle ACB = 2\theta$ 。$\angle A = 180^\circ - 2\theta = \pi-2\theta$

$AB = 2\sin \angle AOB/2 = 2 \sin \theta$

正弦定理から、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = 2R$

$\frac{BC}{\sin(\pi - 2\theta)} = \frac{AC}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin \theta} = 2R=2$

$BC = 2\sin(\pi-2\theta)=2\sin 2\theta = 4\sin \theta \cos \theta$

$AC = AB = 2\sin \theta$

したがって、周の長さは

$L = AB+BC+AC = 2 \sin \theta + 2 \sin \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 4 \sin \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 4 \sin \theta(1+\cos \theta)$

3. 最終的な答え

三角形 $ABC$ の周の長さは、$4 \sin \theta(1 + \cos \theta)$