$4\sin\theta + 2\sin 2\theta$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

$4\sin\theta + 2\sin 2\theta$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2倍角の公式を使って $\sin 2\theta$ を $\sin \theta$ と $\cos \theta$ で表します。

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

与えられた式に代入すると、

$4\sin\theta + 2\sin 2\theta = 4\sin\theta + 2(2\sin\theta \cos\theta) = 4\sin\theta + 4\sin\theta \cos\theta$

$\sin\theta = x$ とおくと、$-1 \leq x \leq 1$ であり、$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1-x^2}$ となります。

したがって、与えられた式は

$4x + 4x\sqrt{1-x^2}$

となります。ここで、微分を使って最大値を求めることを試みます。

$f(x) = 4x + 4x\sqrt{1-x^2}$

$f'(x) = 4 + 4\sqrt{1-x^2} + 4x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = 4 + 4\sqrt{1-x^2} - \frac{4x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めるのは難しいので、別の方法を試します。

再び、 $4\sin\theta + 4\sin\theta \cos\theta$ を見ると、この式を $f(\theta)$ とおきます。

$f'(\theta) = 4\cos\theta + 4(\cos\theta \cos\theta + \sin\theta(-\sin\theta)) = 4\cos\theta + 4(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = 4\cos\theta + 4\cos 2\theta$

$f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ を求めます。

$4\cos\theta + 4\cos 2\theta = 0$

$\cos\theta + \cos 2\theta = 0$

ここで、$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ を使うと、

$\cos\theta + 2\cos^2\theta - 1 = 0$

$2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 = 0$

$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0$

したがって、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ または $\cos\theta = -1$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$\cos\theta = -1$ のとき、$\theta = \pi$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$4\sin\theta + 2\sin 2\theta = 4\sin\frac{\pi}{3} + 2\sin\frac{2\pi}{3} = 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

$\theta = \pi$ のとき、$4\sin\theta + 2\sin 2\theta = 4\sin\pi + 2\sin 2\pi = 4(0) + 2(0) = 0$

したがって、最大値は $3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{3}$