逆正接関数 $\tan^{-1}(1)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

逆正接関数 $\tan^{-1}(1)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆正接関数 $\tan^{-1}(x)$ は、$\tan(\theta) = x$ を満たす角度 $\theta$ を与えます。

したがって、$\tan^{-1}(1)$ を求めるには、$\tan(\theta) = 1$ を満たす角度 $\theta$ を探す必要があります。

$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ であることを思い出してください。$\tan(\theta) = 1$ となるためには、$\sin(\theta)$ と $\cos(\theta)$ が等しくなければなりません。

既知の三角関数の値から、$\theta = \frac{\pi}{4}$ (45度) が $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ かつ $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たすことを知っています。

したがって、$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\cos(\frac{\pi}{4})} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$ となります。

逆正接関数の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ であるため、$\frac{\pi}{4}$ はこの範囲に含まれます。

3. 最終的な答え

$\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$