与えられた複数の式を因数分解する問題です。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた複数の式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

(1) $ax^3 - a^3x$

共通因数 $ax$ でくくります。

$ax(x^2 - a^2)$

かっこの中身は $x^2 - a^2$ なので、これは差の二乗の因数分解の公式 $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ が使えます。

したがって、$x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)$ となります。

よって、$ax(x + a)(x - a)$ が答えです。

(2) $x^4y^2 + xy^5$

共通因数 $xy^2$ でくくります。

$xy^2(x^3 + y^3)$

かっこの中身は $x^3 + y^3$ なので、これは和の三乗の因数分解の公式 $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ が使えます。

したがって、$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ となります。

よって、$xy^2(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ が答えです。

(3) $a^3b + ab^3 + ab + 2a^2b^2 + 2ab^2 + 2a^2b$

$ab$を共通因数としてくくりだすことを考えます。

$ab(a^2 + b^2 + 1 + 2ab + 2b + 2a)$

$= ab((a+b)^2 + 2(a+b) + 1)$

$= ab(a+b+1)^2$

したがって、$ab(a + b + 1)^2$ が答えです。

(4) $x - y + xy - 1$

$x$を含む項と含まない項に分けます。

$x + xy - y - 1$

$x(1 + y) - (y + 1)$

$(x - 1)(y + 1)$

したがって、$(x - 1)(y + 1)$ が答えです。

(5) $a + b^3 + ab^3 + 1$

$a$を含む項と含まない項に分けます。

$a + ab^3 + b^3 + 1$

$a(1 + b^3) + (b^3 + 1)$

$(a + 1)(b^3 + 1)$

$b^3 + 1 = (b+1)(b^2 - b + 1)$ であるから、

$(a+1)(b+1)(b^2 - b + 1)$

したがって、$(a+1)(b+1)(b^2 - b + 1)$が答えです。

(6) $a^2b^2 + 1 - b^2 - a^2$

$(a^2b^2 - a^2) - (b^2 - 1)$

$a^2(b^2 - 1) - (b^2 - 1)$

$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$

$(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)$

したがって、$(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)$ が答えです。

(7) $4x^2 - 12xy + 9y^2$

$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2$

$(2x - 3y)^2$

したがって、$(2x - 3y)^2$ が答えです。

(8) $27x^2 - 12$

$3(9x^2 - 4)$

$3((3x)^2 - 2^2)$

$3(3x + 2)(3x - 2)$

したがって、$3(3x + 2)(3x - 2)$ が答えです。

(9) $54x^3 - 16$

$2(27x^3 - 8)$

$2((3x)^3 - 2^3)$

$2(3x - 2)((3x)^2 + (3x) \cdot 2 + 2^2)$

$2(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$

したがって、$2(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$ が答えです。

(10) $9x^4 - 16x^2y^2$

$x^2(9x^2 - 16y^2)$

$x^2((3x)^2 - (4y)^2)$

$x^2(3x + 4y)(3x - 4y)$

したがって、$x^2(3x + 4y)(3x - 4y)$ が答えです。

(11) $25a^4b^2 + 10a^3b^3 + a^2b^4$

$a^2b^2(25a^2 + 10ab + b^2)$

$a^2b^2((5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot b + b^2)$

$a^2b^2(5a + b)^2$

したがって、$a^2b^2(5a + b)^2$ が答えです。

(12) $a^4b + 3a^3b^2 + 3a^2b^3 + ab^4$

$ab(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$

$ab(a + b)^3$

したがって、$ab(a + b)^3$ が答えです。

3. 最終的な答え

(1) $ax(x + a)(x - a)$

(2) $xy^2(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

(3) $ab(a + b + 1)^2$

(4) $(x - 1)(y + 1)$

(5) $(a+1)(b+1)(b^2 - b + 1)$

(6) $(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)$

(7) $(2x - 3y)^2$

(8) $3(3x + 2)(3x - 2)$

(9) $2(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$

(10) $x^2(3x + 4y)(3x - 4y)$

(11) $a^2b^2(5a + b)^2$

(12) $ab(a + b)^3$