与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $9x^4 + 5x^2 + 1$ (2) $4x^4 - 16x^2 + 9$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $9x^4 + 5x^2 + 1$

(2) $4x^4 - 16x^2 + 9$

2. 解き方の手順

(1) $9x^4 + 5x^2 + 1$ を因数分解します。

まず、$9x^4 + 6x^2 + 1$ となるように $x^2$ を加えます。

すると、

$9x^4 + 5x^2 + 1 = 9x^4 + 6x^2 + 1 - x^2 = (3x^2 + 1)^2 - x^2$

となります。

ここで、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の公式を用いると、

$(3x^2 + 1)^2 - x^2 = (3x^2 + 1 + x)(3x^2 + 1 - x) = (3x^2 + x + 1)(3x^2 - x + 1)$

となります。

(2) $4x^4 - 16x^2 + 9$ を因数分解します。

まず、$4x^4 - 12x^2 + 9$ となるように $-4x^2$ を加えます。

すると、

$4x^4 - 16x^2 + 9 = 4x^4 - 12x^2 + 9 - 4x^2 = (2x^2 - 3)^2 - (2x)^2$

となります。

ここで、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の公式を用いると、

$(2x^2 - 3)^2 - (2x)^2 = (2x^2 - 3 + 2x)(2x^2 - 3 - 2x) = (2x^2 + 2x - 3)(2x^2 - 2x - 3)$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $(3x^2 + x + 1)(3x^2 - x + 1)$

(2) $(2x^2 + 2x - 3)(2x^2 - 2x - 3)$