自然数の列をある規則に従って群に分ける。第 $n$ 群には $(2n-1)$ 個の数が入る。 (1) 第 $n$ 群の最初の自然数を $n$ の式で表せ。 (2) 第 $n$ 群に入るすべての自然数の和 $S$ を求めよ。

## 問題14

1. 問題の内容

自然数の列をある規則に従って群に分ける。第 $n$ 群には $(2n-1)$ 個の数が入る。

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数を $n$ の式で表せ。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての自然数の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求めるには、第 $(n-1)$ 群までの項数を求め、それに1を足せばよい。

第 $k$ 群の項数は $2k-1$ なので、第 $(n-1)$ 群までの項数は、

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = n(n-1) - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$

したがって、第 $n$ 群の最初の自然数は $(n-1)^2 + 1 = n^2 - 2n + 1 + 1 = n^2 - 2n + 2$。

(2) 第 $n$ 群の最初の数は $n^2 - 2n + 2$ で、第 $n$ 群には $(2n-1)$ 個の数が入るので、第 $n$ 群の最後の数は、

$(n^2 - 2n + 2) + (2n-1) - 1 = n^2 - 2n + 2 + 2n - 2 = n^2$。

よって、第 $n$ 群に入る自然数の和 $S$ は、初項 $n^2 - 2n + 2$、末項 $n^2$、項数 $2n-1$ の等差数列の和である。

$S = \frac{(2n-1)((n^2-2n+2) + n^2)}{2} = \frac{(2n-1)(2n^2 - 2n + 2)}{2} = (2n-1)(n^2 - n + 1) = 2n^3 - 2n^2 + 2n - n^2 + n - 1 = 2n^3 - 3n^2 + 3n - 1$。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の自然数: $n^2 - 2n + 2$

(2) 第 $n$ 群に入るすべての自然数の和 $S$: $2n^3 - 3n^2 + 3n - 1$