8枚のカード(a, a, b, c, d, e, f, g)を横一列に並べるとき、以下の確率を求める問題です。 (1) d, e, fの3枚のカードがこの順番で隣り合う確率 (2) bとcのカードが隣り合わない確率 (3) gのカードより左にも右にもaのカードがある確率

1. 問題の内容

8枚のカード(a, a, b, c, d, e, f, g)を横一列に並べるとき、以下の確率を求める問題です。

(1) d, e, fの3枚のカードがこの順番で隣り合う確率

(2) bとcのカードが隣り合わない確率

(3) gのカードより左にも右にもaのカードがある確率

2. 解き方の手順

(1) d, e, fがこの順で隣り合う確率

8枚のカードの並べ方の総数は、同じ文字が2つあるので、$\frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160$通りです。

d, e, fを一つのまとまりと考えると、(d, e, f), a, a, b, c, g の6つの要素を並べることになります。

並べ方は$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$通りです。

したがって、確率は$\frac{360}{20160} = \frac{36}{2016} = \frac{3}{168} = \frac{1}{56}$ となります。

(2) bとcのカードが隣り合わない確率

8枚のカードの並べ方の総数は、(1)と同様に$\frac{8!}{2!} = 20160$通りです。

まず、bとcが隣り合う場合の数を計算します。bとcを一つのまとまり(bc)と考えるか、(cb)と考えるかで場合分けします。

i) (bc)を一つのまとまりと考えると、(bc), a, a, d, e, f, g の7つの要素を並べます。並べ方は$\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$通りです。

ii) (cb)を一つのまとまりと考えると、(cb), a, a, d, e, f, g の7つの要素を並べます。並べ方は$\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$通りです。

したがって、bとcが隣り合う場合は$2520 + 2520 = 5040$通りです。

bとcが隣り合わない場合は、全体の並べ方からbとcが隣り合う場合を引けば良いので、$20160 - 5040 = 15120$通りです。

確率は$\frac{15120}{20160} = \frac{1512}{2016} = \frac{3}{4}$となります。

(3) gのカードより左にも右にもaのカードがある確率

gのカードより左にも右にもaのカードがあるということは、gが端に来ない場合を考えればよいです。

gが左端に来る場合、a _ _ _ _ _ _ の順に並びます。残りの並び方は $\frac{7!}{2!} = 2520$通りです。

同様に、gが右端に来る場合も $\frac{7!}{2!} = 2520$通りです。

全体からgが端に来る場合を引けば、gのカードより左にも右にもaのカードがある場合の数になるので $20160 - 2520 - 2520 = 15120$通りです。

確率は$\frac{15120}{20160} = \frac{1512}{2016} = \frac{3}{4}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{56}$

(2) $\frac{3}{4}$

(3) $\frac{3}{4}$