確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が $ f(x) = \begin{cases} e^{-x} & (x \geq 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases} $ で与えられているとき、以下の値を求める。 (1) $P(0 \leq X < 1)$ と $P(2 \leq X)$ (2) $\mu = E[X]$ と $\sigma^2 = V[X]$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が

$$

f(x) = \begin{cases}

e^{-x} & (x \geq 0) \\

0 & (x < 0)

\end{cases}

$$

で与えられているとき、以下の値を求める。

(1) $P(0 \leq X < 1)$ と $P(2 \leq X)$

(2) $\mu = E[X]$ と $\sigma^2 = V[X]$

2. 解き方の手順

(1) $P(0 \leq X < 1)$ を求める。

$P(0 \leq X < 1) = \int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-e^{-0}) = 1 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e}$

したがって、アは1, イは1となる。

$P(2 \leq X)$ を求める。

$P(2 \leq X) = \int_2^{\infty} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_2^{\infty} = -e^{-\infty} - (-e^{-2}) = 0 + e^{-2} = \frac{1}{e^2}$

したがって、ウは1/e^2となる。

(2) $\mu = E[X]$ を求める。

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_0^{\infty} x e^{-x} dx$

部分積分を行う。$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となる。

$\int_0^{\infty} x e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} -e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-x} dx = [-xe^{-x}]_0^{\infty} + [-e^{-x}]_0^{\infty}$

ここで$\lim_{x \to \infty} xe^{-x} = 0$ なので、

$[-xe^{-x}]_0^{\infty} = 0 - 0 = 0$

$[-e^{-x}]_0^{\infty} = -e^{-\infty} - (-e^{-0}) = 0 + 1 = 1$

よって、$E[X] = 0 + 1 = 1$

したがって、オは1となる。

$\sigma^2 = V[X]$ を求める。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_0^{\infty} x^2 e^{-x} dx$

部分積分を2回行う。

$\int_0^{\infty} x^2 e^{-x} dx$ で、$u = x^2$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -e^{-x}$ となる。

$\int_0^{\infty} x^2 e^{-x} dx = [-x^2e^{-x}]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} -2xe^{-x} dx = [-x^2e^{-x}]_0^{\infty} + 2\int_0^{\infty} xe^{-x} dx$

ここで、$\lim_{x \to \infty} x^2e^{-x} = 0$ なので、$[-x^2e^{-x}]_0^{\infty} = 0$ となる。

$2\int_0^{\infty} xe^{-x} dx = 2 E[X] = 2(1) = 2$

よって、$E[X^2] = 0 + 2 = 2$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

したがって、カは1となる。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1

ウ: $\frac{1}{e^2}$

オ: 1

カ: 1

$P(0 \leq X < 1) = 1 - \frac{1}{e}$

$P(2 \leq X) = \frac{1}{e^2}$

$E[X] = 1$

$V[X] = 1$