a, a, b, c, d, e, f, g の8枚のカードを横一列に並べる。以下の確率を求める。 (1) d, e, f の3枚のカードがこの順番で隣り合う確率 (2) b と c のカードが隣り合わない確率 (3) g のカードより左にも右にも a のカードがある確率

1. 問題の内容

a, a, b, c, d, e, f, g の8枚のカードを横一列に並べる。以下の確率を求める。

(1) d, e, f の3枚のカードがこの順番で隣り合う確率

(2) b と c のカードが隣り合わない確率

(3) g のカードより左にも右にも a のカードがある確率

2. 解き方の手順

(1) d, e, f の3枚のカードがこの順番で隣り合う確率

まず、8枚のカードの並べ方の総数を求める。ただし、a が2枚あるので、

$8! / 2! = 40320 / 2 = 20160$ 通り

次に、d, e, f がこの順番で隣り合う並べ方を数える。d, e, f を一つのまとまりと考えて、これを X とする。すると、a, a, b, c, g, X の6個のものを並べることになる。

並べ方は $6! / 2! = 720 / 2 = 360$ 通り

したがって、求める確率は $360 / 20160 = 1 / 56$

(2) b と c のカードが隣り合わない確率

まず、b と c が隣り合う確率を求める。b と c を一つのまとまりとして考えると、(b, c) または (c, b) の2通りがある。

(b, c) または (c, b) を Y とすると、a, a, d, e, f, g, Y の7個のものを並べることになる。

並べ方は $7! / 2! * 2 = 5040 / 2 * 2 = 5040$ 通り

したがって、b と c が隣り合う確率は $5040 / 20160 = 1/4$

よって、b と c が隣り合わない確率は $1 - 1/4 = 3/4$

(3) g のカードより左にも右にも a のカードがある確率

全体から、g の左に a がない場合と、g の右に a がない場合を引けばよい。

g の左に a がない場合、つまり g が一番左にある場合を考える。残りの 7 個を並べるが、そのうち a は 2 個なので、$7!/2!=2520$通り。

g の右に a がない場合、つまり g が一番右にある場合を考える。残りの 7 個を並べるが、そのうち a は 2 個なので、$7!/2!=2520$通り。

g が一番左または一番右にある確率は、$2*2520/20160 = 1/4*2 = 1/4+1/4=1/2$

g が一番左にも一番右にもない場合とは、g の左と右に少なくとも1つずつ a があることである。

よって、g の左にも右にも a のカードがある確率は $1-1/4=3/4$

3. 最終的な答え

(1) 1/56

(2) 3/4

(3) 3/4