与えられた問題は、次の数列の和を求めるものです。 $\sum_{k=1}^{n} (4 - 3^k)$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の数列の和を求めるものです。

$\sum_{k=1}^{n} (4 - 3^k)$

2. 解き方の手順

与えられた和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4 - 3^k) = \sum_{k=1}^{n} 4 - \sum_{k=1}^{n} 3^k$

$\sum_{k=1}^{n} 4 = 4n$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k$は、初項3、公比3の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は、$\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$で与えられます。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} (4 - 3^k) = 4n - \frac{3(3^n - 1)}{2}$

$= 4n - \frac{3^{n+1} - 3}{2}$

$= \frac{8n - 3^{n+1} + 3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{8n - 3^{n+1} + 3}{2}$