不等式 $4a^2 + 9b^2 \geq 12ab$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $4a^2 + 9b^2 \geq 12ab$ を証明し、等号が成り立つ条件を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形し、平方完成を目指します。

まず、不等式を移項して整理します。

$4a^2 + 9b^2 - 12ab \geq 0$

左辺を平方の形に変形します。

$(2a)^2 - 2(2a)(3b) + (3b)^2 \geq 0$

$(2a - 3b)^2 \geq 0$

実数の2乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは、$2a - 3b = 0$のときです。

したがって、$2a = 3b$となります。

$a = \frac{3}{2}b$ または $b = \frac{2}{3}a$

3. 最終的な答え

不等式 $4a^2 + 9b^2 \geq 12ab$ は常に成り立つ。

等号が成り立つのは、$2a = 3b$ のとき。