$\triangle OAB$ において、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $C$、線分 $AC$ の中点を $M$ とする。直線 $OM$ と辺 $AB$ の交点を $D$ とする。 (1) $\vec{OD} = k \vec{OM}$ となる実数 $k$ の値を求めよ。 (2) $AD:DB$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $C$、線分 $AC$ の中点を $M$ とする。直線 $OM$ と辺 $AB$ の交点を $D$ とする。

(1) $\vec{OD} = k \vec{OM}$ となる実数 $k$ の値を求めよ。

(2) $AD:DB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\vec{OM}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OC}$ で表す。$M$ は $AC$ の中点なので、

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}$

次に、$\vec{OC}$ を $\vec{OB}$ で表す。$C$ は $OB$ を $2:1$ に内分するので、

$\vec{OC} = \frac{2}{3} \vec{OB}$

したがって、

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB}}{2} = \frac{1}{2} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OB}$

次に、$\vec{OD}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表す。$D$ は直線 $OM$ 上にあるので、$\vec{OD} = k \vec{OM}$ となる実数 $k$ が存在する。

$\vec{OD} = k \vec{OM} = k \left( \frac{1}{2} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OB} \right) = \frac{k}{2} \vec{OA} + \frac{k}{3} \vec{OB}$

また、$D$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\vec{OD} = (1-t) \vec{OA} + t \vec{OB}$ となる実数 $t$ が存在する。

$\vec{OD} = (1-t) \vec{OA} + t \vec{OB}$

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、

$\frac{k}{2} = 1-t$

$\frac{k}{3} = t$

これらを連立して解くと、

$\frac{k}{2} = 1 - \frac{k}{3}$

$\frac{k}{2} + \frac{k}{3} = 1$

$\frac{5k}{6} = 1$

$k = \frac{6}{5}$

(2) $t = \frac{k}{3} = \frac{6/5}{3} = \frac{2}{5}$

したがって、$\vec{OD} = (1-t) \vec{OA} + t \vec{OB} = (1-\frac{2}{5}) \vec{OA} + \frac{2}{5} \vec{OB} = \frac{3}{5} \vec{OA} + \frac{2}{5} \vec{OB}$

$\vec{OD} = \frac{3 \vec{OA} + 2 \vec{OB}}{5}$

$D$ は $AB$ を $2:3$ に内分するので、$AD:DB = 2:3$

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{6}{5}$

(2) $AD:DB = 2:3$