初項が63、公差が-5である等差数列 $\{a_n\}$ において、初項からの和が最大になるのは第何項までを加えたときか。

1. 問題の内容

初項が63、公差が-5である等差数列 $\{a_n\}$ において、初項からの和が最大になるのは第何項までを加えたときか。

2. 解き方の手順

等差数列の和が最大になるのは、数列の項が正の数の間だけ和に加える時です。数列の項が負の数になると、和は減少していきます。

したがって、一般項$a_n$が初めて負になる項の番号を求め、その前の項までの和が最大になることが分かります。

等差数列の一般項$a_n$は、初項を$a_1$、公差を$d$とすると、

$a_n = a_1 + (n-1)d$

で表されます。

この問題の場合、$a_1 = 63$、$d = -5$なので、

$a_n = 63 + (n-1)(-5)$

$a_n = 63 - 5n + 5$

$a_n = 68 - 5n$

$a_n < 0$となる$n$を求めます。

$68 - 5n < 0$

$68 < 5n$

$n > \frac{68}{5}$

$n > 13.6$

したがって、$n$が14以上のとき、$a_n$は負になります。

和が最大になるのは$n=13$のときです。

3. 最終的な答え

第13項