第3項が6、初項から第3項までの和が78である等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。ただし、公比は正の実数とする。

1. 問題の内容

第3項が6、初項から第3項までの和が78である等比数列 $\{a_n\}$ の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。ただし、公比は正の実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$, 公比を $r$ とおく。

第3項が6なので、

$ar^2 = 6$ ...(1)

初項から第3項までの和が78なので、

$a + ar + ar^2 = 78$ ...(2)

(2)に(1)を代入すると、

$a + ar + 6 = 78$

$a + ar = 72$

$a(1+r) = 72$ ...(3)

(1)より $a = \frac{6}{r^2}$ なので、(3)に代入すると

$\frac{6}{r^2}(1+r) = 72$

$\frac{1+r}{r^2} = 12$

$1+r = 12r^2$

$12r^2 - r - 1 = 0$

$(3r-1)(4r+1) = 0$

$r = \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}$

公比は正の実数なので、$r = \frac{1}{3}$

(1)に代入すると $a(\frac{1}{3})^2 = 6$

$a\frac{1}{9} = 6$

$a = 54$

したがって、等比数列の初項は $a = 54$, 公比は $r = \frac{1}{3}$ となる。

初項から第n項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$= \frac{54(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}}$

$= \frac{54(1-(\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}}$

$= 54 \cdot \frac{3}{2} (1-(\frac{1}{3})^n)$

$= 27 \cdot 3 (1-(\frac{1}{3})^n)$

$= 81 (1-(\frac{1}{3})^n)$

$= 81 (1 - \frac{1}{3^n})$

$= 81 - \frac{81}{3^n} = 81 - \frac{3^4}{3^n} = 81 - 3^{4-n}$

3. 最終的な答え

$S_n = 81(1 - (\frac{1}{3})^n) = 81 - 3^{4-n}$