全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、集合 $B = \{2, 3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cup B$ (5) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (6) $\overline{A \cap B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、集合 $B = \{2, 3, 4, 5\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cup B$

(5) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(6) $\overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = U - A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

(2) $\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{B} = U - B = \{1, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(3) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 6, 7, 8, 9, 10\} = \{1, 7, 9\}$

(4) $\overline{A} \cup B$ は $\overline{A}$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cup B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{2, 3, 4, 5\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$

(5) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{1, 6, 7, 8, 9, 10\} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(6) $\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ に含まれない $U$ の要素の集合である。まず、$A \cap B$ を計算する。

$A \cap B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{2, 3, 4, 5\} = \{3, 5\}$

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{3, 5\} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{1, 7, 9\}$

(4) $\overline{A} \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$

(5) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(6) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$