長さ6の順列 $A = (4, 2, 5, 3, 6, 1)$が与えられている。 (1) 順列Aの転倒数を求める。 (2) 順列Aの符号を求める。

1. 問題の内容

長さ6の順列 $A = (4, 2, 5, 3, 6, 1)$が与えられている。

(1) 順列Aの転倒数を求める。

(2) 順列Aの符号を求める。

2. 解き方の手順

(1) 転倒数とは、順列の中で、それより後ろにある数字よりも大きい数字の組の数です。順列Aの転倒数を数えます。

- 4より後ろにある数字で4より小さい数字は、2, 3, 1 の3つ

- 2より後ろにある数字で2より小さい数字は、1 の1つ

- 5より後ろにある数字で5より小さい数字は、3, 1 の2つ

- 3より後ろにある数字で3より小さい数字は、1 の1つ

- 6より後ろにある数字で6より小さい数字は、1 の1つ

- 1より後ろにある数字で1より小さい数字は、0個

したがって、転倒数は $3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 0 = 8$ となります。

(2) 順列の符号は、$(-1)^{転倒数}$で計算できます。

転倒数が8なので、符号は $(-1)^8 = 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 順列Aの転倒数は8です。

(2) 順列Aの符号は1です。