全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 2, 4, 6, 8, 10\}$、集合 $B = \{1, 7, 9\}$ が与えられている。このとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$ と $\overline{A \cup B}$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{1, 2, 4, 6, 8, 10\}$、集合 $B = \{1, 7, 9\}$ が与えられている。このとき、$\overline{A} \cap \overline{B}$ と $\overline{A \cup B}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ と集合 $B$ の補集合 $\overline{B}$ を求める。

$\overline{A}$ は $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合である。したがって、

$\overline{A} = \{3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B}$ は $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合である。したがって、

$\overline{B} = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$

次に、$\overline{A} \cap \overline{B}$ を求める。これは、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合である。したがって、

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 5\}$

次に、$A \cup B$ を求める。これは、$A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10\}$

最後に、$\overline{A \cup B}$ を求める。これは、$U$ の要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cup B} = \{3, 5\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 5\}$

$\overline{A \cup B} = \{3, 5\}$