全体集合 $U$ を実数全体の集合とし、部分集合 $A, B, C, D$ が次のように定められている。 $A = \{x | x^2 \geq 4 \}, B = \{x | 1 \leq x \leq 2 \}, C = \{1, 2 \}, D = \{-4, -2, 1, 2 \}$ このとき、以下の2つの文の空欄（アとイ）に当てはまるものを、選択肢の中から選ぶ問題である。 * $x \in B \cap \overline{D}$ は、$x \in \overline{A}$ であるための ア 。 * $x \in (A \cup B) \cap D$ は、$x \in C$ であるための イ 。 選択肢は以下の通りである。 0. 必要条件であるが、十分条件ではない。 1. 十分条件であるが、必要条件ではない。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を実数全体の集合とし、部分集合 $A, B, C, D$ が次のように定められている。

$A = \{x | x^2 \geq 4 \}, B = \{x | 1 \leq x \leq 2 \}, C = \{1, 2 \}, D = \{-4, -2, 1, 2 \}$

このとき、以下の2つの文の空欄（アとイ）に当てはまるものを、選択肢の中から選ぶ問題である。

* $x \in B \cap \overline{D}$ は、$x \in \overline{A}$ であるための ア 。

* $x \in (A \cup B) \cap D$ は、$x \in C$ であるための イ 。

選択肢は以下の通りである。

0. 必要条件であるが、十分条件ではない。

1. 十分条件であるが、必要条件ではない。

2. 必要十分条件である。

3. 必要条件でも十分条件でもない。

2. 解き方の手順

アについて

$x \in B \cap \overline{D}$ は、$x \in B$ かつ $x \notin D$ を意味する。

$B = \{x | 1 \leq x \leq 2 \}$ であり、$D = \{-4, -2, 1, 2 \}$ であるから、$B \cap \overline{D} = \{x | 1 < x < 2 \}$となる。

$x \in \overline{A}$ は、$x \notin A$ を意味する。$A = \{x | x^2 \geq 4 \}$ であるから、$x \in \overline{A}$ は $x^2 < 4$ すなわち $-2 < x < 2$ を意味する。

$x \in B \cap \overline{D} \Rightarrow x \in \overline{A}$ を考える。

$1 < x < 2$ ならば $-2 < x < 2$ なので、$x \in B \cap \overline{D}$ ならば $x \in \overline{A}$ は真である。

$x \in \overline{A} \Rightarrow x \in B \cap \overline{D}$ を考える。

$-2 < x < 2$ ならば $1 < x < 2$ とは限らないので、$x \in \overline{A}$ ならば $x \in B \cap \overline{D}$ は偽である。

したがって、$x \in B \cap \overline{D}$ は、$x \in \overline{A}$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

イについて

$x \in (A \cup B) \cap D$ は、$x \in A \cup B$ かつ $x \in D$ を意味する。

$A \cup B = \{x | x^2 \geq 4 \text{ または } 1 \leq x \leq 2 \}$

$(A \cup B) \cap D = \{-4, -2, 1, 2 \}$

$x \in C$ は、$x = 1$ または $x = 2$ を意味する。

$x \in (A \cup B) \cap D \Rightarrow x \in C$ を考える。

$x \in \{-4, -2, 1, 2 \}$ ならば $x \in \{1, 2 \}$ とは限らないので、$x \in (A \cup B) \cap D$ ならば $x \in C$ は偽である。

$x \in C \Rightarrow x \in (A \cup B) \cap D$ を考える。

$x \in \{1, 2 \}$ ならば $x \in \{-4, -2, 1, 2 \}$ なので、$x \in C$ ならば $x \in (A \cup B) \cap D$ は真である。

したがって、$x \in (A \cup B) \cap D$ は、$x \in C$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

ア： 1

イ： 0