全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{2, 4, 5, 9, 10\}$、集合 $B = \{2, 6, 7\}$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ を求める。ここで、$\overline{A}$はAの補集合を表す。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、集合 $A = \{2, 4, 5, 9, 10\}$、集合 $B = \{2, 6, 7\}$ が与えられたとき、$\overline{A} \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ を求める。ここで、$\overline{A}$はAの補集合を表す。

2. 解き方の手順

まず、集合$A$の補集合$\overline{A}$を求める。$\overline{A}$は$U$に含まれるが$A$に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = U - A = \{1, 3, 6, 7, 8\}$

次に、$\overline{A} \cap B$ を求める。$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合である。

$\overline{A} \cap B = \{6, 7\}$

次に、$A \cup B$ を求める。これは$A$または$B$に含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{2, 4, 5, 6, 7, 9, 10\}$

最後に、$\overline{A \cup B}$ を求める。これは、$U$ に含まれるが $A \cup B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 3, 8\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap B = \{6, 7\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 3, 8\}$