集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{2, 3, 4, 5\}$が与えられています。このとき、$\overline{A} \cap B$と$A \cup \overline{B}$を求めます。ここで、$\overline{A}$はAの補集合を表し、$U$を全体集合とします。同様に、$\overline{B}$はBの補集合を表し、$U$を全体集合とします。

1. 問題の内容

集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$、$B = \{2, 3, 4, 5\}$が与えられています。このとき、$\overline{A} \cap B$と$A \cup \overline{B}$を求めます。ここで、$\overline{A}$はAの補集合を表し、$U$を全体集合とします。同様に、$\overline{B}$はBの補集合を表し、$U$を全体集合とします。

2. 解き方の手順

まず、Aの補集合$\overline{A}$を求めます。$\overline{A}$はUの要素のうちAに含まれない要素の集合なので、

$\overline{A} = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

次に、$\overline{A} \cap B$を求めます。これは$\overline{A}$とBの両方に含まれる要素の集合なので、

$\overline{A} \cap B = \{2, 4\}$

次に、Bの補集合$\overline{B}$を求めます。$\overline{B}$はUの要素のうちBに含まれない要素の集合なので、

$\overline{B} = \{1, 6, 7, 8, 9, 10\}$

最後に、$A \cup \overline{B}$を求めます。これはAと$\overline{B}$の少なくとも一方に含まれる要素の集合なので、

$A \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9, 6, 8, 10\}$

要素を小さい順に並び替えると、

$A \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap B = \{2, 4\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$