全体集合 $U$、集合 $A$、集合 $B$ が与えられています。ここで、$U$ は12より小さい自然数全体の集合、$A = \{4, 5, 6, 7, 8\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ です。このとき、$\overline{A} \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U$、集合 $A$、集合 $B$ が与えられています。ここで、$U$ は12より小さい自然数全体の集合、$A = \{4, 5, 6, 7, 8\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ です。このとき、$\overline{A} \cap B$ と $\overline{A \cup B}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 全体集合 $U$ を求めます。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$

(2) 集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ を求めます。$\overline{A}$ は $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = \{1, 2, 3, 9, 10, 11\}$

(3) $\overline{A} \cap B$ を求めます。これは、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 2, 3, 9, 10, 11\} = \{1, 3, 9\}$

(4) $A \cup B$ を求めます。これは、$A$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。

$A \cup B = \{4, 5, 6, 7, 8\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(5) $A \cup B$ の補集合 $\overline{A \cup B}$ を求めます。これは、$U$ の要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cup B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\} - \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} = \{2, 10, 11\}$

3. 最終的な答え

$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 9\}$

$\overline{A \cup B} = \{2, 10, 11\}$