9冊の異なる本を、以下の(1)から(4)の条件で分ける方法がそれぞれ何通りあるかを求める問題です。 (1) 3冊ずつ3人に分ける。 (2) 3冊ずつ3組に分ける。 (3) 2冊、3冊、4冊の3組に分ける。 (4) 2冊、2冊、5冊の3組に分ける。

1. 問題の内容

9冊の異なる本を、以下の(1)から(4)の条件で分ける方法がそれぞれ何通りあるかを求める問題です。

(1) 3冊ずつ3人に分ける。

(2) 3冊ずつ3組に分ける。

(3) 2冊、3冊、4冊の3組に分ける。

(4) 2冊、2冊、5冊の3組に分ける。

2. 解き方の手順

(1)

まず、9冊から3冊を選ぶ組み合わせは $_9C_3$通りです。次に、残りの6冊から3冊を選ぶ組み合わせは $_6C_3$通りです。最後に、残りの3冊から3冊を選ぶ組み合わせは $_3C_3=1$通りです。これらを掛け合わせると、3冊ずつの組に分ける組み合わせが出ます。さらに、3人に分けるので、3!を掛けます。

$_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3 \times 3! = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1 \times 3! = \frac{9!}{3!3!3!} \times 3! = \frac{9!}{3!3!3!} \times 6 = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6} \times 6 = 1680 \times 6 = 10080$

(2)

(1)と同様に、9冊から3冊を選ぶ組み合わせは $_9C_3$通りです。次に、残りの6冊から3冊を選ぶ組み合わせは $_6C_3$通りです。最後に、残りの3冊から3冊を選ぶ組み合わせは $_3C_3=1$通りです。これらを掛け合わせると、3冊ずつの組に分ける組み合わせが出ます。ただし、組に区別がないので、3!で割る必要があります。

$\frac{_9C_3 \times _6C_3 \times _3C_3}{3!} = \frac{\frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times 1}{3!} = \frac{9!}{3!3!3!3!} = \frac{362880}{6 \times 6 \times 6 \times 6} = \frac{362880}{1296} = 280$

(3)

9冊から2冊を選ぶ組み合わせは $_9C_2$通りです。次に、残りの7冊から3冊を選ぶ組み合わせは $_7C_3$通りです。最後に、残りの4冊から4冊を選ぶ組み合わせは $_4C_4=1$通りです。

$_9C_2 \times _7C_3 \times _4C_4 = \frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{3!4!} \times 1 = \frac{9!}{2!3!4!} = \frac{362880}{2 \times 6 \times 24} = \frac{362880}{288} = 1260$

(4)

9冊から2冊を選ぶ組み合わせは $_9C_2$通りです。次に、残りの7冊から2冊を選ぶ組み合わせは $_7C_2$通りです。最後に、残りの5冊から5冊を選ぶ組み合わせは $_5C_5=1$通りです。ただし、2冊の組に区別がないので、2!で割る必要があります。

$\frac{_9C_2 \times _7C_2 \times _5C_5}{2!} = \frac{\frac{9!}{2!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times 1}{2!} = \frac{9!}{2!2!5!2!} = \frac{362880}{2 \times 2 \times 120 \times 2} = \frac{362880}{960} = 378$

3. 最終的な答え

(1) 10080通り

(2) 280通り

(3) 1260通り

(4) 378通り