全体集合を $U = \{x | 1 \leq x \leq 10, x \text{は整数}\}$ とする。$U$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ について、次の集合を求める問題です。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (6) $\overline{A \cup B}$ (7) $A \cap \overline{B}$ (8) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合を $U = \{x | 1 \leq x \leq 10, x \text{は整数}\}$ とする。$U$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ について、次の集合を求める問題です。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(6) $\overline{A \cup B}$

(7) $A \cap \overline{B}$

(8) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ で $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ なので、$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$ です。

(2) $\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ で $B = \{2, 3, 8, 10\}$ なので、$\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$ です。

(3) $\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$ で $B = \{2, 3, 8, 10\}$ なので、$\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$ です。

(4) $A \cup \overline{B}$ は $A$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ で $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$ なので、$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$ です。

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$ で $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$ なので、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$ です。

(6) $\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。まず、$A \cup B$ を求めます。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ で $B = \{2, 3, 8, 10\}$ なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$ です。

したがって、$\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$ です。

(7) $A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ で $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$ なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$ です。

(8) $\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ に含まれない要素の集合です。まず、$A \cap B$ を求めます。

$A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ で $B = \{2, 3, 8, 10\}$ なので、$A \cap B = \{2, 3\}$ です。

したがって、$\overline{A \cap B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$

(7) $A \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$

(8) $\overline{A \cap B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$