図のような道のある地域において、点Aから点Bまで最短の道順を求める問題です。 (1) AからBまでの最短経路の総数 (2) AからCを経由してBまでの最短経路の総数 (3) AからCを経由せずにBまでの最短経路の総数 をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

図のような道のある地域において、点Aから点Bまで最短の道順を求める問題です。

(1) AからBまでの最短経路の総数

(2) AからCを経由してBまでの最短経路の総数

(3) AからCを経由せずにBまでの最短経路の総数

をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) AからBまでの最短経路の総数

AからBまで行くためには、右に5回、上に3回移動する必要があります。したがって、合計8回の移動のうち、右への移動5回を選ぶ組み合わせの数、または上への移動3回を選ぶ組み合わせの数を計算します。これは組み合わせの公式で表すことができます。

${}_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

(2) AからCを経由してBまでの最短経路の総数

AからCまで行くためには、右に2回、上に1回移動する必要があります。CからBまで行くためには、右に3回、上に2回移動する必要があります。

AからCまでの最短経路の総数は

${}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$

CからBまでの最短経路の総数は

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

AからCを経由してBまでの最短経路の総数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数を掛け合わせたものになります。

$3 \times 10 = 30$

(3) AからCを経由せずにBまでの最短経路の総数

AからBまでの最短経路の総数から、AからCを経由してBまでの最短経路の総数を引けば、AからCを経由せずにBまでの最短経路の総数が求められます。

$56 - 30 = 26$

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く経路は56通り

(2) AからCを通ってBまで行く経路は30通り

(3) AからCを通らずにBまで行く経路は26通り