全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $B = \{3, 5, 7\}$、かつ $A \cap B = \{7\}$、かつ $A \cap \overline{B} = \{1, 8\}$ が与えられている。 次の集合を求める：(1) $A$, (2) $\overline{A}$, (3) $\overline{B}$, (4) $A \cup B$, (5) $A \cap \overline{B}$, (6) $\overline{A \cup B}$.

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$、集合 $B = \{3, 5, 7\}$、かつ $A \cap B = \{7\}$、かつ $A \cap \overline{B} = \{1, 8\}$ が与えられている。

次の集合を求める：(1) $A$, (2) $\overline{A}$, (3) $\overline{B}$, (4) $A \cup B$, (5) $A \cap \overline{B}$, (6) $\overline{A \cup B}$.

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ を求める。$A \cap B = \{7\}$ と $A \cap \overline{B} = \{1, 8\}$ より、$A$ は $7$, $1$, $8$ を含む。

また、$A$ は $B$ に含まれる要素と $\overline{B}$ に含まれる要素の積集合であるため、 $A = \{1, 7, 8\}$.

(1) $A = \{1, 7, 8\}$

(2) $\overline{A}$ は $U$ のうち $A$ に含まれない要素の集合なので、$\overline{A} = \{2, 3, 4, 5, 6, 9\}$.

(3) $\overline{B}$ は $U$ のうち $B$ に含まれない要素の集合なので、$\overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$.

(4) $A \cup B$ は $A$ と $B$ の要素を合わせた集合なので、$A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 8\}$.

(5) $A \cap \overline{B}$ は与えられていて、$A \cap \overline{B} = \{1, 8\}$.

(6) $\overline{A \cup B}$ は $U$ のうち $A \cup B$ に含まれない要素の集合なので、$\overline{A \cup B} = \{2, 4, 6, 9\}$.

3. 最終的な答え

(1) $A = \{1, 7, 8\}$

(2) $\overline{A} = \{2, 3, 4, 5, 6, 9\}$

(3) $\overline{B} = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$

(4) $A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 8\}$

(5) $A \cap \overline{B} = \{1, 8\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{2, 4, 6, 9\}$