母平均 $\mu = 60$, 母分散 $\sigma^2 = 16$ の母集団から、大きさ $n=100$ の標本を無作為に復元抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ の平均と標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

母平均 $\mu = 60$, 母分散 $\sigma^2 = 16$ の母集団から、大きさ $n=100$ の標本を無作為に復元抽出するとき、標本平均 $\bar{X}$ の平均と標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

標本平均$\bar{X}$の平均は、母平均に等しい。すなわち、

$E[\bar{X}] = \mu = 60$

標本平均$\bar{X}$の分散は、母分散を標本サイズで割ったものに等しい。すなわち、

$V[\bar{X}] = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{16}{100} = 0.16$

標本平均$\bar{X}$の標準偏差は、$\bar{X}$の分散の平方根である。すなわち、

$\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{V[\bar{X}]} = \sqrt{0.16} = 0.4$

3. 最終的な答え

標本平均 $\bar{X}$ の平均は $60$、標準偏差は $0.4$ である。