4本のくじの中に当たりくじが1本あり、1本引いて元に戻す試行を48回繰り返す。当たりが出れば1回につき100円もらえるとき、1800円以上もらえる確率を求める。 (1) 当たりくじを引く回数 $X$ が従う二項分布 $B(48, p)$ を求めよ。 (2) $Z = \frac{X-a}{b}$ ($b > 0$) とするとき、$Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとみなしてよいような定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

4本のくじの中に当たりくじが1本あり、1本引いて元に戻す試行を48回繰り返す。当たりが出れば1回につき100円もらえるとき、1800円以上もらえる確率を求める。

(1) 当たりくじを引く回数 $X$ が従う二項分布 $B(48, p)$ を求めよ。

(2) $Z = \frac{X-a}{b}$ ($b > 0$) とするとき、$Z$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとみなしてよいような定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 当たりくじを引く確率は $p = \frac{1}{4}$ なので、$X$ は二項分布 $B(48, \frac{1}{4})$ に従う。

(2) $X$ が二項分布 $B(n, p)$ に従うとき、平均 $E(X) = np$、分散 $V(X) = np(1-p)$ である。

この問題の場合、$n = 48$, $p = \frac{1}{4}$ なので、

$E(X) = 48 \times \frac{1}{4} = 12$

$V(X) = 48 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 9$

標準偏差 $\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{9} = 3$

$n$ が大きいとき、$X$ は近似的に正規分布 $N(E(X), V(X))$ に従う。

$Z = \frac{X - a}{b}$ が標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、

$a = E(X) = 12$

$b = \sigma = 3$

3. 最終的な答え

(1) $B(48, \frac{1}{4})$

(2) $a = 12$, $b = 3$