与えられた式 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ を計算し、分母を有理化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ を計算し、分母を有理化します。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$

$= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})}$

$= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}$

$= \frac{\sqrt{21} - \sqrt{15}}{7 - 5}$

$= \frac{\sqrt{21} - \sqrt{15}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{21} - \sqrt{15}}{2}$