6個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ のうち異なる4個を並べて4桁の整数を作る。 (1) 4桁の整数は何個作れるか。 (2) 4桁の偶数は何個作れるか。 (3) 4桁の整数を小さい順に書き並べたとき、100番目の整数を求めよ。

1. 問題の内容

6個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ のうち異なる4個を並べて4桁の整数を作る。

(1) 4桁の整数は何個作れるか。

(2) 4桁の偶数は何個作れるか。

(3) 4桁の整数を小さい順に書き並べたとき、100番目の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数の個数

4桁の整数を作るには、千の位に0以外の数字を選ぶ必要がある。

千の位の選び方は5通り。

次に、百の位は千の位で使った数字以外の5個の数字から選ぶので5通り。

十の位は千の位と百の位で使った数字以外の4個の数字から選ぶので4通り。

一の位は千の位、百の位、十の位で使った数字以外の3個の数字から選ぶので3通り。

したがって、4桁の整数の個数は $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個。

(2) 4桁の偶数の個数

一の位が偶数である必要がある。

一の位が0の場合、千の位は5通り、百の位は4通り、十の位は3通りなので $5 \times 4 \times 3 = 60$ 個。

一の位が2または4の場合、千の位は0と一の位の数以外から選ぶので4通り、百の位は4通り、十の位は3通りなので $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$ 個。

したがって、4桁の偶数の個数は $60 + 96 = 156$ 個。

(3) 100番目の整数

まず、千の位が1である整数を考える。百の位、十の位、一の位は0, 2, 3, 4, 5の中から3個を選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$ 個。

次に、千の位が2である整数を考える。百の位、十の位、一の位は0, 1, 3, 4, 5の中から3個を選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$ 個。

ここまでで120個なので、100番目は千の位が2である。

千の位が2で、百の位が0である整数を考える。十の位、一の位は1, 3, 4, 5の中から2個を選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$ 個。

千の位が2で、百の位が1である整数を考える。十の位、一の位は0, 3, 4, 5の中から2個を選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$ 個。

ここまでで $60+12+12=84$個。

千の位が2で、百の位が3である整数を考える。十の位、一の位は0, 1, 4, 5の中から2個を選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$ 個。

ここまでで $84+12=96$個。

千の位が2で、百の位が4である整数を考える。十の位、一の位は0, 1, 3, 5の中から2個を選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$ 個。

100番目は千の位が2で百の位が4である。

2401, 2403, 2405, 2410, 2413, 2415, 2430, 2431, 2435, 2450, 2451,

2

4

5

3. 100番目は2431。

3. 最終的な答え

(1) 300個

(2) 156個

(3) 2431