$\sqrt{108-9a}$ が整数となるような自然数 $a$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{108-9a}$ が整数となるような自然数 $a$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{108-9a}$ が整数となるためには、$108-9a$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$108-9a = k^2$ となる整数 $k \geq 0$ が存在します。

$108-9a \geq 0$ より $9a \leq 108$ なので、$a \leq 12$ であることがわかります。

また、$a$ は自然数なので、$a \geq 1$ です。

$108-9a = k^2$ を変形すると、

$9a = 108 - k^2$

$a = \frac{108 - k^2}{9}$

$a = 12 - \frac{k^2}{9}$

$a$ が自然数であるためには、$k^2$ が9の倍数である必要があります。つまり、$k$ が3の倍数である必要があります。

$k = 0$ のとき、$a = 12 - \frac{0}{9} = 12$

$k = 3$ のとき、$a = 12 - \frac{9}{9} = 11$

$k = 6$ のとき、$a = 12 - \frac{36}{9} = 12 - 4 = 8$

$k = 9$ のとき、$a = 12 - \frac{81}{9} = 12 - 9 = 3$

$k = 12$ のとき、$a = 12 - \frac{144}{9} = 12 - 16 = -4$

$a$ は自然数なので、$a > 0$ である必要があります。したがって、$k$ は $0, 3, 6, 9$ のいずれかです。

これらの $k$ の値に対応する $a$ の値は $12, 11, 8, 3$ であり、これらはすべて自然数です。

よって、条件を満たす自然数 $a$ は $3, 8, 11, 12$ の4個です。

3. 最終的な答え

4個