関数 $y = -x^2 + 5x + 1$ において、$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 5x + 1$ において、$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を求める問題です。

2. 解き方の手順

平均変化率は $\frac{yの変化量}{xの変化量}$ で計算されます。

ステップ1: $x = a$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(a) = -a^2 + 5a + 1$

ステップ2: $x = a+h$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(a+h) = -(a+h)^2 + 5(a+h) + 1$

$y(a+h) = -(a^2 + 2ah + h^2) + 5a + 5h + 1$

$y(a+h) = -a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1$

ステップ3: $y$ の変化量を計算します。

$y(a+h) - y(a) = (-a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1) - (-a^2 + 5a + 1)$

$y(a+h) - y(a) = -a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1 + a^2 - 5a - 1$

$y(a+h) - y(a) = -2ah - h^2 + 5h$

ステップ4: $x$ の変化量を計算します。

$x$ の変化量は $(a+h) - a = h$

ステップ5: 平均変化率を計算します。

平均変化率 $= \frac{y(a+h) - y(a)}{(a+h) - a} = \frac{-2ah - h^2 + 5h}{h}$

平均変化率 $= \frac{h(-2a - h + 5)}{h}$

平均変化率 $= -2a - h + 5$

3. 最終的な答え

平均変化率は $-2a - h + 5$ です。