与えられた連立一次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いて解を求める問題です。 連立一次方程式は $Ax=b$ の形で与えられており、ここで $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 2 \end{bmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いて解を求める問題です。 連立一次方程式は $Ax=b$ の形で与えられており、ここで

$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \end{bmatrix}$, $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $b = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 2 \end{bmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

掃き出し法は、拡大行列 $[A|b]$ を行基本変形によって簡約化し、解を求める方法です。

ステップ1: 拡大行列を作成する。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ -1 & -2 & 4 & | & -5 \\ 0 & 1 & -3 & | & 2 \end{bmatrix}$

ステップ2: 2行目に1行目を足す（2行目を $-1 \times$ 1行目 + 2行目とする）。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & -2 & 5 & | & -2 \\ 0 & 1 & -3 & | & 2 \end{bmatrix}$

ステップ3: 2行目と3行目を入れ替える。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -3 & | & 2 \\ 0 & -2 & 5 & | & -2 \end{bmatrix}$

ステップ4: 3行目に2行目の2倍を足す（3行目を $2 \times$ 2行目 + 3行目とする）。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -3 & | & 2 \\ 0 & 0 & -1 & | & 2 \end{bmatrix}$

ステップ5: 3行目を $-1$ 倍する。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -3 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 \end{bmatrix}$

ステップ6: 2行目に3行目の3倍を足す（2行目を $3 \times$ 3行目 + 2行目とする）。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -4 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 \end{bmatrix}$

ステップ7: 1行目から3行目を引く（1行目を 1行目 - 3行目とする）。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 5 \\ 0 & 1 & 0 & | & -4 \\ 0 & 0 & 1 & | & -2 \end{bmatrix}$

これで拡大行列は簡約化され、解が直接読み取れます。

3. 最終的な答え

$x_1 = 5$

$x_2 = -4$

$x_3 = -2$

したがって、解は $x = \begin{bmatrix} 5 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix}$ です。