$\log_{10} 2 = a$、$\log_{10} 3 = b$ のとき、$\log_2 180$と$\log_5 \sqrt[3]{720}$ を $a$ と $b$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = a$、$\log_{10} 3 = b$ のとき、$\log_2 180$と$\log_5 \sqrt[3]{720}$ を $a$ と $b$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\log_2 180$ を $a$ と $b$ で表す。

まず、$180$ を素因数分解すると、 $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ である。

$\log_2 180 = \log_2 (2^2 \cdot 3^2 \cdot 5) = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 + \log_2 5 = 2 + 2\log_2 3 + \log_2 5$

ここで、$\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2} = \frac{b}{a}$

また、$\log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} = \frac{\log_{10} (10/2)}{\log_{10} 2} = \frac{\log_{10} 10 - \log_{10} 2}{\log_{10} 2} = \frac{1 - a}{a}$

したがって、$\log_2 180 = 2 + 2\left(\frac{b}{a}\right) + \frac{1 - a}{a} = 2 + \frac{2b}{a} + \frac{1}{a} - 1 = 1 + \frac{2b + 1}{a} = \frac{a + 2b + 1}{a}$

(2) $\log_5 \sqrt[3]{720}$ を $a$ と $b$ で表す。

まず、$720$ を素因数分解すると、$720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ である。

$\log_5 \sqrt[3]{720} = \log_5 (720)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log_5 (2^4 \cdot 3^2 \cdot 5) = \frac{1}{3} (\log_5 2^4 + \log_5 3^2 + \log_5 5) = \frac{1}{3} (4\log_5 2 + 2\log_5 3 + 1)$

ここで、$\log_5 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 5} = \frac{a}{\log_{10} (10/2)} = \frac{a}{1 - a}$

また、$\log_5 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 5} = \frac{b}{\log_{10} (10/2)} = \frac{b}{1 - a}$

したがって、$\log_5 \sqrt[3]{720} = \frac{1}{3} \left(4 \cdot \frac{a}{1-a} + 2 \cdot \frac{b}{1-a} + 1\right) = \frac{1}{3} \left( \frac{4a + 2b}{1-a} + 1 \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{4a + 2b + 1 - a}{1 - a} \right) = \frac{3a + 2b + 1}{3(1-a)}$

3. 最終的な答え

$\log_2 180 = \frac{a + 2b + 1}{a}$

$\log_5 \sqrt[3]{720} = \frac{3a + 2b + 1}{3(1-a)}$