与えられた漸化式から、数列の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 4$, $a_{k+1} = 3a_k + 4$ (k=1, 2, 3, ...) (2) $b_1 = 2$, $b_{k+1} = b_k + (2k - 1)$ (k=1, 2, 3, ...)

1. 問題の内容

与えられた漸化式から、数列の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 4$, $a_{k+1} = 3a_k + 4$ (k=1, 2, 3, ...)

(2) $b_1 = 2$, $b_{k+1} = b_k + (2k - 1)$ (k=1, 2, 3, ...)

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{k+1} = 3a_k + 4$ を $a_{k+1} + \alpha = 3(a_k + \alpha)$ の形に変形します。

$\alpha = 3\alpha + 4$ より、$-2\alpha = 4$ なので、$\alpha = -2$。

よって、$a_{k+1} - 2 = 3(a_k - 2)$。

ここで、$c_k = a_k - 2$ とおくと、$c_{k+1} = 3c_k$。

$c_1 = a_1 - 2 = 4 - 2 = 2$ なので、$c_k$ は初項2、公比3の等比数列。

$c_k = 2 \cdot 3^{k-1}$

$a_k = c_k + 2 = 2 \cdot 3^{k-1} + 2$

(2)

漸化式 $b_{k+1} = b_k + (2k - 1)$ より、$b_{k+1} - b_k = 2k - 1$。

これは階差数列なので、$k \ge 2$ のとき、

$b_k = b_1 + \sum_{i=1}^{k-1} (2i - 1) = 2 + 2 \sum_{i=1}^{k-1} i - \sum_{i=1}^{k-1} 1$

$b_k = 2 + 2 \cdot \frac{(k-1)k}{2} - (k-1) = 2 + k(k-1) - (k-1) = 2 + k^2 - k - k + 1 = k^2 - 2k + 3$

$k=1$ のとき、$b_1 = 1 - 2 + 3 = 2$ となり、成り立つ。

よって、$b_k = k^2 - 2k + 3$

3. 最終的な答え

(1) $a_k = 2 \cdot 3^{k-1} + 2$

(2) $b_k = k^2 - 2k + 3$