$x \geq 0$ のとき、不等式 $x^3 + 32 \geq px^2$ が成り立つような定数 $p$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、不等式 $x^3 + 32 \geq px^2$ が成り立つような定数 $p$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

不等式 $x^3 + 32 \geq px^2$ を $x \geq 0$ で考える。

$x=0$ のとき、$0^3 + 32 \geq p \cdot 0^2$ より、$32 \geq 0$ となり、これは常に成り立つ。

$x > 0$ のとき、$x^2$ で両辺を割ると、

$x + \frac{32}{x^2} \geq p$

となる。

$f(x) = x + \frac{32}{x^2}$ とおくと、$x > 0$ における $f(x)$ の最小値を求めればよい。

$f'(x) = 1 - \frac{64}{x^3}$

$f'(x) = 0$ となるのは、

$1 - \frac{64}{x^3} = 0$

$x^3 = 64$

$x = 4$

$f'(x)$ の符号を調べると、

$0 < x < 4$ のとき、$x^3 < 64$ より、$f'(x) < 0$

$x > 4$ のとき、$x^3 > 64$ より、$f'(x) > 0$

したがって、$x=4$ で $f(x)$ は最小となる。

$f(4) = 4 + \frac{32}{4^2} = 4 + \frac{32}{16} = 4 + 2 = 6$

よって、$x + \frac{32}{x^2} \geq 6$ より、$p \leq 6$

したがって、$p$ の最大値は $6$ である。

3. 最終的な答え

6