3つの数 $3^{\frac{1}{3}}$, $4^{\frac{1}{4}}$, $5^{\frac{1}{5}}$ を小さい順に並べなさい。

1. 問題の内容

3つの数 $3^{\frac{1}{3}}$, $4^{\frac{1}{4}}$, $5^{\frac{1}{5}}$ を小さい順に並べなさい。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するために、累乗根を外して比較しやすい形にします。それぞれの数の指数が 3, 4, 5 なので、これらの最小公倍数である60乗してみます。

$a = 3^{\frac{1}{3}}$とすると、$a^{60} = (3^{\frac{1}{3}})^{60} = 3^{20}$

$b = 4^{\frac{1}{4}}$とすると、$b^{60} = (4^{\frac{1}{4}})^{60} = 4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{30}$

$c = 5^{\frac{1}{5}}$とすると、$c^{60} = (5^{\frac{1}{5}})^{60} = 5^{12}$

ここで、$3^{20}$, $2^{30}$, $5^{12}$ の大きさを比較します。

$3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$

$2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$

$5^{12} = (5^{\frac{6}{5}})^{10}$

$3^{20} = 3486784401$

$2^{30} = 1073741824$

$5^{12} = 244140625$

したがって、$5^{12} < 2^{30} < 3^{20}$となります。

このことから、$c^{60} < b^{60} < a^{60}$であり、それぞれ60乗する前の数も同様の大小関係になります。

したがって、$5^{\frac{1}{5}} < 4^{\frac{1}{4}} < 3^{\frac{1}{3}}$となります。

3. 最終的な答え

$5^{\frac{1}{5}}$, $4^{\frac{1}{4}}$, $3^{\frac{1}{3}}$